Σύγκλιση σειράς

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm

Έστω \mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n όπου x_n πραγματική ακολουθία και έστω \ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n .
  1. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και το \ell υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε \ell=0.
  2. Να δοθεί παράδειγμα όπου x_n>0 , η \mathcal{S} συγκλίνει αλλά το \ell δεν υπάρχει.
  3. Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας \{x_n\} , \ell=0 αλλά η \mathcal{S} αποκλίνει.
  4. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και η \{x_n\} είναι φθίνουσα τότε:
    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 05, 2020 7:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
Έστω \mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n όπου x_n πραγματική ακολουθία και έστω \ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n .
  1. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και το \ell υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε \ell=0.
  2. Να δοθεί παράδειγμα όπου x_n>0 , η \mathcal{S} συγκλίνει αλλά το \ell δεν υπάρχει.
  3. Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας \{x_n\} , \ell=0 αλλά η \mathcal{S} αποκλίνει.
  4. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και η \{x_n\} είναι φθίνουσα τότε:
    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}
1) Έστω (s_n) η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς, οπότε s_n\to s. Από Cesaro \displaystyle{\dfrac {s_1+...+s_n}{n} \to s}, δηλαδή
\displaystyle{\dfrac {nx_1+(n-1)x_2+...+2x_{n-1}+x_n}{n} \to s}.

Επίσης από υπόθεση \displaystyle{\dfrac {n+1}{n}(x_1+...+x_n) = \dfrac {n+1}{n} s_n \to s}. Αφαιρώντας τις δύο έπεται

\displaystyle{\dfrac {x_1+2 x_2+...+(n-1)x_{n-1}+nx_n}{n} \to 0}. Όμως από την nx_n\to l και Cesaro, το τελευταίο άθροισμα τείνει στο l. Από μοναδικότητα του ορίου, l=0.

2) Παίρνουμε x_n= \dfrac {1}{n^2} αν n\ne \dfrac {1}{2^k} όπου k\in \mathbb N, και x_{2^n}= \dfrac {1}{2^n} αλλιώς. Τώρα η σειρά συγκλίνει αλλά αφού n\frac {1}{n^2}\to 0 και 2^nx_{2^n}=\dfrac {2^n}{2^n} =1, η ακολουθία (nx_n) δεν συγκλίνει.

3) x_n= \dfrac {1}{n\ln n}

4) Πρέπει να κλείσω. Θα επανέλθω αργότερα. Συγγνώμη. Για την ώρα σημειώνω μονάχα ότι έχει τυπογραφικό σφάλμα: Tο x_{n-1} πρέπει να γίνει x_{n+1}.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Απρ 05, 2020 11:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 7:40 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
Έστω \mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n όπου x_n πραγματική ακολουθία και έστω \ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n .
  1. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και το \ell υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε \ell=0.
  2. Να δοθεί παράδειγμα όπου x_n>0 , η \mathcal{S} συγκλίνει αλλά το \ell δεν υπάρχει.
  3. Να δοθεί παράδειγμα φθίνουσας ακολουθίας \{x_n\} , \ell=0 αλλά η \mathcal{S} αποκλίνει.
  4. Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και η \{x_n\} είναι φθίνουσα τότε:
    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}
Τόλη ξέχασες να βάλεις ημερομηνία και δεν το πήρε χαμπάρι ο Μιχάλης.

Δεν θα γράψω την λύση του τελευταίου μήπως την γράψει κανένας φοιτητής.
Θα κάνω μία απλούστερη λύση για το πρώτο.
Αν l>0
και το άπειρο μέσα τότε υπάρχει n_{0}\in \mathbb{N} ώστε για n\geq n_{0}
να έχουμε nx_{n}> \frac{l}{2}.
(αν είναι άπειρο το \frac{l}{2} το κάνω ένα θετικό αριθμό)
Αφού η αρμονική αποκλίνει θα αποκλίνει ΑΤΟΠΟ.

Αν l<0 θεωρούμε την

\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty}- x_n

και πέφτουμε στην πρώτη περίπτωση


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 05, 2020 7:44 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
[*]Να δειχθεί ότι αν η \mathcal{S} συγκλίνει και η \{x_n\} είναι φθίνουσα τότε:
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n-1} \right ) = \mathcal{S}}
Συνεχίζω από εκεί που έμεινα. Το κάνω για το \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \left ( x_n - x_{n+1} \right ) = \mathcal{S}}, δηλαδή με διόρθωση του τυπογραφικού σφάλματος της εκφώνησης.

(x_n) φθίνουσα (αναγκαστικά στο 0) είναι απλό και γνωστό ότι nx_n\to 0. Θα το βρει κανείς σε όλα τα βιβλία με σειρές (το πρώτο και κύριο βήμα είναι 2nx_{2n} \le 2(x_n+...+x_{2n} ) = 2(s_{2n}-s_{n-1}) \to 2(l-l)=0).

Αν t_n το μερικό άθροισμα της αριστερής σειράς, έχουμε

\displaystyle{t_n=(x_1-x_2)+2(x_2-x_3)+...+n(x_n-x_{n+1}) = (x_1+x_2+...+x_n)-nx_{n+1}=}

\displaystyle{=s_n-\dfrac {n+1}{n} (n+1)x_{n+1} \to \mathcal{S}-0}

Ωχχχχ. Tώρα βλέπω το μήνυμα του Σταύρου (δεν υπήρχε όταν ξεκίνησα να γράφω) και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 05, 2020 8:34 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 7:44 pm

... και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.
Δε πειράζει.. Δεν έγινε και κάτι.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης