Είναι συνεχής;

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι συνεχής;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 14, 2020 8:20 pm

Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.


Μέχρι αύριο το βράδυ!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι συνεχής;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 15, 2020 10:22 pm

Ανοιχτή για όλους πλέον !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 15, 2020 10:59 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 14, 2020 8:20 pm
Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.


Μέχρι αύριο το βράδυ!
Μαλλον κάτι έχει ξεχασθεί.Οπως είναι είναι σχεδόν τετριμμένη και το Τοπολογικοί χώροι είναι μόνο για φόβο.Αυριο θα γράψω λύση


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4397
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι συνεχής;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 16, 2020 4:25 pm

Χμμ... τετριμμένη Σταύρο αν τη ξέρεις και ξέρεις που να ψάξεις. Αλλιώς δε νομίζω .


Υ.Σ: Δεν έχω ξεχάσει κάτι.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 16, 2020 4:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Απρ 14, 2020 8:20 pm
Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) συνεχής; Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.


Μέχρι αύριο το βράδυ!
Δεν γράφω προς το παρόν λύση.
Θα κάνω κάποια σχόλια.

1)Τι πρέπει να βάλουμε στο κενό ώστε να ισχύει το ακόλουθο

Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) είναι _______________.
Να γραφεί μια απόδειξη.



2)Να δοθεί παράδειγμα που η απάντηση στο παρακάτω είναι ΟΧΙ.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f:\mathbb{R} \times  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) συνεχής;


Θα περιμένω λίγες μέρες και μετά θα βάλω λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι συνεχής;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 18, 2020 10:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 4:57 pm

1)Τι πρέπει να βάλουμε στο κενό ώστε να ισχύει το ακόλουθο

Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) είναι _______________.
Να γραφεί μια απόδειξη.



2)Να δοθεί παράδειγμα που η απάντηση στο παρακάτω είναι ΟΧΙ.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f:\mathbb{R} \times  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} φραγμένη και συνεχής συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) συνεχής;


Θα περιμένω λίγες μέρες και μετά θα βάλω λύση.
Για το 2) μπορούν να δοθούν πολλά παραδείγματα.

Αρκεί να πάρουμε μια ακολουθία συναρτήσεων που να είναι φθίνουσα ,να συγκλίνει κατα σημείο
και η τελική συνάρτηση να μην είναι συνεχής.

π.χ η \displaystyle (\frac{1}{1+x^{2}})^{n}

Ευκολα τώρα μπορούμε να φτιάξουμε συνάρτηση.

π.χ\displaystyle (\frac{1}{1+x^{2}})^{|y|+1},(\frac{1}{1+x^{2}})^{y^2+1}

Και στα δύο θα είναι g(0)=1,g(x)=0,x\neq 0



Το 1)είναι
Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
\displaystyle g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) είναι άνω ημισυνεχής

Δεν είναι κάτι δύσκολο.
Η απόδειξη και στο \mathbb{R} περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.
Να θυμίσω τον ορισμό της άνω ημισυνεχούς συνάρτησης.
Εστω X τοπολογικός χώρος και f:X \rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση.
Η f λέγεται άνω ημισυνεχής στο x_0 \in X αν για κάθε \epsilon >0
υπάρχει ανοικτή περιοχή U του x_0 ώστε \displaystyle x\in U\Rightarrow f(x)<f(x_0)+\epsilon
(μισή συνέχεια)

Να σημειώσω ότι το Τοπολογικοί χώροι είναι τελείως παραπλανητικό σε όλο το θέμα. Τα παραδείγματα μπορούν να δοθούν στο \mathbb{R} ενώ η απόδειξη αυτού που διατύπωσα από το \mathbb{R} περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Είναι συνεχής;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Απρ 18, 2020 10:40 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 4:57 pm




Το 1)είναι
Έστω X,Y τοπολογικοί χώροι. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:X\times Y \rightarrow \mathbb{R} κάτω φραγμένη και συνεχή. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση
\displaystyle g(x) = \inf \limits_{y \in Y} f(x,y) είναι άνω ημισυνεχής

Δεν είναι κάτι δύσκολο.
Η απόδειξη και στο \mathbb{R} περνάει αμέσως σε Τοπολογικούς χώρους.
Να θυμίσω τον ορισμό της άνω ημισυνεχούς συνάρτησης.
Εστω X τοπολογικός χώρος και f:X \rightarrow \mathbb{R} συνάρτηση.
Η f λέγεται άνω ημισυνεχής στο x_0 \in X αν για κάθε \epsilon >0
υπάρχει ανοικτή περιοχή U του x_0 ώστε \displaystyle x\in U\Rightarrow f(x)<f(x_0)+\epsilon
(μισή συνέχεια)

Απόδειξη

Αρχικά η συνάρτηση g είναι καλά ορισμένη από το γεγονός ότι η f είναι κάτω φραγμένη.

Έστω x\in X και έστω \epsilon>0. Από ορισμό του infimum, υπάρχει y_0\in Y ώστε f(x,y_0)<g(x)+\epsilon

Επειδή όμως η f είναι συνεχής στο (x,y_0)\in X\times Y, για το δοθέν \epsilon>0 υπάρχει περιοχή U\times V\subseteq X\times Y του (x,y_0)

ώστε (x',y)\in U\times V\implies f(x',y)\in \left(f(x,y_0)-\epsilon,f(x,y_0)+\epsilon\right). Τότε U είναι περιοχή του x\in X και

x'\in U\implies g(x')=\inf_{z\in Y}f(x',z)\leq f(x',y)<f(x,y_0)+\epsilon<g(x)+2\,\epsilon (όπως θέλαμε)


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης