όριο

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Απάντηση
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3053
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία grigkost

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιουν 13, 2020 9:45 am

Να βρεθεί (γρήγορα) το \lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n!)}{n}.


έως και 14/6/20


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Λέξεις Κλειδιά:
όριο
Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Σάβ Ιουν 13, 2020 4:46 pm

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{lnx!}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln\Gamma (x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{\Gamma'(x+1)}}{\Gamma(x+1) }=\Psi (x+1)=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty Δεν ξερω αν ειναι σωστο


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:12 pm

Μπορούν να απαντήσουν και μαθητές λυκείου στο φάκελο αυτό;


Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:16 pm

εγω γ λυκειου ειμαι


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:25 pm

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά άμα πάμε με τον ορισμό του παραγοντικού και γράψουμε το λογάριθμο ως άθροισμα λογαρίθμων και έπειτα εφαρμόσουμε DLH σε κάθε κλάσμα, δε μηδενίζουν όλα;


Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:31 pm

ο καθηγητης μου στο σχολιο μου εχει πει οταν ειναι 0/0 ή απειρο δια απειρο το κλασμα πρεπει να το σπας ετσι ωστε να διατηρειται η απροσδιοριστια σε καθε κλασμα /Αρα νομιζω πως δεν μπορεις να το κανεις αυτο


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5226
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:32 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 4:46 pm
 \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{lnx!}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln\Gamma (x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{\Gamma'(x+1)}}{\Gamma(x+1) }=\Psi (x+1)=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty Δεν ξερω αν ειναι σωστο

Με κάποιες διορθώσεις και με τη σωστή δικαιολόγηση γιατί:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} \right) = +\infty}
η απόδειξη θα είναι ολοκληρωμένη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
mick7
Δημοσιεύσεις: 1122
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:33 pm

Ισχυει

\displaystyle n!\geq (\frac{n}{e})^{n}

Λογαριθμιζοντας παιρνουμε

\displaystyle log(n!)\geq nlogn-n

η

\displastyle \frac{log(n!)}{n}\geq logn-1

Απο αυτην προκυπτει οτι το οριο ειναι +απειρο


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5226
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: όριο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:40 pm

Η δική μου λύση πάει ως εξής:

Είναι \displaystyle{\log n! \sim n \log n - n + \mathcal{O} (\log n)} άρα

\displaystyle{\frac{\log n!}{n} \sim \frac{n \log n - n + \mathcal{O}\left(\log n\right)}{n} = \log n - 1 + \mathcal{O} \left( \frac{\log n}{n} \right) \rightarrow +\infty}
Από την άλλη έχουμε \displaystyle{\psi^{(0)}(1+x) \sim \log (1 + x ) \rightarrow +\infty}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: όριο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιουν 13, 2020 5:52 pm

Μα το θέμα είναι να αποδειχθεί με απλά εργαλεία. Οι συναρτήσεις \Gamma,\Psi, προσεγγίσεις Stirling κ.τ.λ. είναι πολύ ισχυρότερα εργαλεία που κάνουν το ζητούμενο τετριμμένο.

Δεν σημαίνει πως είναι λάθος να χρησιμοποιηθούν. Το ζητούμενο όμως μπορεί να αποδειχθεί με απλούστερους τρόπους. Ακόμη και με σχολικό τρόπο.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 13, 2020 6:29 pm

Νομίζω ότι οι παραπάνω λύσεις ξέφυγαν κατά πολύ. Κάνουν τα εύκολα, δύσκολα. Σωστά επισημαίνει
ο Δημήτρης το
Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 5:52 pm
 Το ζητούμενο όμως μπορεί να αποδειχθεί με απλούστερους τρόπους. Ακόμη και με σχολικό τρόπο.
Υπόδειξη αν και νομίζω ότι είναι περιττή για τόσο απλή άσκηση,
.
Αν (a_n ) ακολουθία με a_n \to a όπου a\in \mathbb R ή a=\pm \infty, τι μπορείς να πεις για τους μέσους όρους \displaystyle{\frac {a_1+a_2+...+a_n}{n}};


Κορυφή
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιουν 13, 2020 6:44 pm

e^{\log (n!)/n}=\sqrt[n]{n!}\rightarrow +\infty \Rightarrow \log (n!)/n\rightarrow +\infty


Κορυφή
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 838
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιουν 13, 2020 6:57 pm

llenny έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 5:25 pm
 Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά άμα πάμε με τον ορισμό του παραγοντικού και γράψουμε το λογάριθμο ως άθροισμα λογαρίθμων και έπειτα εφαρμόσουμε DLH σε κάθε κλάσμα, δε μηδενίζουν όλα;
Κλασικό λάθος. Το άθροισμα των προσθετέων δεν είναι σταθερό αλλά μεταβαλλόμενο.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15762
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιουν 13, 2020 7:54 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 4:46 pm
 ...=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty Δεν ξερω αν ειναι σωστο
Όχι δεν είναι σωστό. Κάτι άλλο εννοείς.

Όπως είναι γραμμένο το παραπάνω φαίνεται να υπάρχει ο ισχυρισμός ότι η σειρά \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} \right) αποκλίνει για θετικά x. Να όμως που συγκλίνει καθώς ο γενικός όρος ικανοποιεί

\displaystyle{0\le \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} = \frac {x}{k(k+x)} \le \frac {x}{k^2}} και η σειρά \sum \frac {1}{k^2} συγκλίνει. Άρα συγκλίνει και η αρχική από το κριτήριο σύγκρισης.

Το σφάλμα διορθώνεται (σου έκανε μία νύξη ο Τόλης) αλλά, πέρα από αυτά, η μέθοδος που ακολουθείς ξεφεύγει για μία τόσο απλή άσκηση.


Κορυφή
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: όριο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Σάβ Ιουν 13, 2020 9:10 pm

Οπως ειπα και πριν ειμαι μαθητης της γ λυκειου και απλα εχω διαβασει μερικα πραγματα για πολυ γνωστες συναρτησεις και ο μονος τροπος που θα μπορουσα να το ελυνα με τις γνωσεις που εχω ειναι αυτος.Αμα υπαρχει τροπος να λυθει και με γνωσεις γ λυκειου ας κοινοποιηση καποιος μια λυση


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: όριο

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιουν 13, 2020 9:36 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 9:10 pm
 Οπως ειπα και πριν ειμαι μαθητης της γ λυκειου και απλα εχω διαβασει μερικα πραγματα για πολυ γνωστες συναρτησεις και ο μονος τροπος που θα μπορουσα να το ελυνα με τις γνωσεις που εχω ειναι αυτος.Αμα υπαρχει τροπος να λυθει και με γνωσεις γ λυκειου ας κοινοποιηση καποιος μια λυση
Δίνω μια υπόδειξη. Έχει κάνει μια αναφορά και ο Μιχάλης πιο πάνω σε παρόμοιο μήκος κύματος.

Δείξε ότι \log{(n!)} \geqslant \frac{n}{2} \log{(\frac{n}{2})}.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3053
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία grigkost

Re: όριο

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Ιουν 15, 2020 11:47 am

Μετά τα όσα εγράφησαν παραπάνω δεν έχω να προσθέσω τι παρά το ότι συνέβη το εξής "παράδοξο" : Ξεκινώντας από έναν μαθητή λυκείου και καταλήγοντας σε δυο ακαδημαϊκούς, οι προταθείσες λύσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες όσον αφορά τα στοιχειώδη μαθηματικά που χρησιμοποιήθηκαν!


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες