Συμμετρικός πίνακας

#1

Έστω

ένας συμμετρικός $n\times n$ πίνακας του δ.χ. ${\cal{M}}_{n}(\mathbb{R})$ τέτοιος ώστε A^3=A^2

. Να αποδειχθεί ότι A^2=A

.

Έως και 8/2/2021

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Μια προσπάθεια:

Ο πίνακας

είναι διαγωνιοποιήσιμος ως συμμετρικός.

Άρα, ο $B=P^{-1}AP$ είναι διαγώνιος για κάποιο αντιστρέψιμο πίνακα

.

Τότε $B^2=P^{-1}A^2P$ και $B^3=P^{-1}A^3P$ .

Αν $x_{1},...,x_{n}$ τα διαγώνια στοιχεία του

, τότε $x_{1}^2,x_{2}^2,...,x_{n}^2$ τα διαγώνια στοιχεία του B^2

και $x_{1}^3, x_{2}^3,...,x_{n}^3$ τα διαγώνια στοιχεία του B^3

.

Αφού

, έχω $x_{i}^2=x_{i}^3\Leftrightarrow x_{i}=x_{i}^2$ . Οπότε,
$B=B^2\Leftrightarrow P^{-1}AP=P^{-1}A^2P\Leftrightarrow A=A^2$ , ό.έ.δ.

Είναι σωστή η προσπάθεια; Δεν έχω αρκετή εμπειρία στο να γράφω αποδείξεις σε θέματα γραμμικής άλγεβρας και δεν ξέρω αν παίρνω κάτι ως δεδομένο, χωρίς να είναι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ksofsa έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 4:28 pm
Καλησπέρα!

Μια προσπάθεια:

Ο πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιμος ως συμμετρικός.

Άρα, ο $B=P^{-1}AP$ είναι διαγώνιος για κάποιο αντιστρέψιμο πίνακα .

Τότε $B^2=P^{-1}A^2P$ και $B^3=P^{-1}A^3P$ .

Αν $x_{1},...,x_{n}$ τα διαγώνια στοιχεία του , τότε $x_{1}^2,x_{2}^2,...,x_{n}^2$ τα διαγώνια στοιχεία του
και $x_{1}^3, x_{2}^3,...,x_{n}^3$ τα διαγώνια στοιχεία του .

Αφού , έχω $x_{i}^2=x_{i}^3\Leftrightarrow x_{i}=x_{i}^2$ . Οπότε,
$B=B^2\Leftrightarrow P^{-1}AP=P^{-1}A^2P\Leftrightarrow A=A^2$ , ό.έ.δ.

Είναι σωστή η προσπάθεια; Δεν έχω αρκετή εμπειρία στο να γράφω αποδείξεις σε θέματα γραμμικής άλγεβρας και δεν ξέρω αν παίρνω κάτι ως δεδομένο, χωρίς να είναι.

Σωστή είναι.
Θα μπορούσε συντομότερα.
Το ελάχιστο πολυώνυμο του

είναι ένα από τα
x,x^2,x(x-1),x-1,x^2(x-1)

επειδή είναι διαγωνίσιμος θα είναι ένα από τα
x,x(x-1),x-1

και το ζητούμενο προφανές.

Θα μπορούσαμε λόγω της απλής μορφής του αρχικού πολυωνύμου να μην
χρησιμοποιήσουμε το βαρύ
συμμετρικός πίνακας διαγωνοποιείται.
Ο

θα είχε δύο block τον A_1

,

με $A_{1}=I_{k},A_{2}^{2}=0$
Επειδή αυτοί θα είναι συμμετρικοί από την $A_{2}^{2}=0$ παίρνουμε $A_{2}=0$
μιας και $A_{2}^{2}=A_{2}^{T}A_{2}$

#4

Δεν έχω να προσθέσω σε όσα παραπάνω έγραψε ο Σταύρος. Και η δική μου λύση είναι με την χρήση του ελαχίστου πολυωνύμου του πίνακα.

Συμμετρικός πίνακας

Συμμετρικός πίνακας

Re: Συμμετρικός πίνακας

Re: Συμμετρικός πίνακας

Re: Συμμετρικός πίνακας

Μέλη σε σύνδεση