Υπολογισμός σειράς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = x \left( 1 +\cos x \right)$ την οποία επεκτείνουμε $2\pi$ -περιοδικά σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ . Να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

$\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}$
Μέχρι 13/02/2021!

#2

H

πού μπαίνει;

#3

Ενδεχομένως...

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 12, 2021 4:33 pm Έστω $f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = x \left( 1 +\cos x \right)$ την οποία επεκτείνουμε $2\pi$ -περιοδικά σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ . Με την χρήση του αναπτύγματος Fourier της , να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

$\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}$

Ως απάντηση του εύλογου ερωτήματος(;) του κ. Λάμπρου.

#4

Σωστά. Υπόψη όμως οτι το S_1

δεν χρειάζεται σειρά Fourier. Μπορεί πολύ εύκολα, και γενικότερα, να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς ως μία απλή ρητή συνάρτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 12, 2021 4:33 pm Έστω $f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = x \left( 1 +\cos x \right)$ την οποία επεκτείνουμε $2\pi$ -περιοδικά σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$ . Να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

$\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}$
Μέχρι 13/02/2021!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

Για να συνεχίσω αυτό που έγραφα για το S_1

, το ίδιο άλλωστε με του Σταύρου, έχουμε γενικότερα

$\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^N \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)}= \dfrac {1}{4}+ \dfrac {(-1)^N}{2N(N+1)}$

Το S_1

είναι βέβαια το όριο $\dfrac {1}{4}$ αυτής.

Υπολογισμός σειράς

Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Μέλη σε σύνδεση