Ασκήσεις Τοπολογίας

stranger · #81

giannispapav έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 11:26 pm

stranger έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 2:35 pm
13) Δείξτε ότι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο είναι ομοιομορφικός με κάθε έλλειψη.
edit: Αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι και την Παρασκευή θα δώσω απάντηση αν και είναι αρκετά εύκολη.

Μπορούμε, μετά από μετατόπιση και στροφή (που είναι ομοιομορφισμοί), να υποθέσουμε ότι η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή $E:\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ οπότε αν είναι ο μοναδιαίος κύκλος, τότε η $f:E\to C$ με $f((x,y))=\big(\frac{x}{\alpha},\frac{y}{\beta}\big)$ είναι ομοιμορφισμός.

Πολύ ωραία.

stranger · #82

15)
Έστω δύο μετρικοί χώροι (X,d_X),(Y,d_Y)

. Έστω η μετρική

στον $X \times Y$ με d(x,y),(z,w))=d_X(x,z) + d_Y(y,w)

.
Δείξτε ότι ο μετρικός χώρος $(X \times Y,d)$ είναι τοπολογικά ο χώρος γινόμενο των (X,d_X)

και

. Δηλαδή ότι έχουν την ίδια τοπολογία.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #83

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 30, 2024 4:38 pm
15)
Έστω δύο μετρικοί χώροι . Έστω η μετρική στον $X \times Y$ με .
Δείξτε ότι ο μετρικός χώρος $(X \times Y,d)$ είναι τοπολογικά ο χώρος γινόμενο των και . Δηλαδή ότι έχουν την ίδια τοπολογία.

Έστω $\tau_X,\tau_Y$ οι τοπολογίες των (X,d_X),(Y,d_Y)

αντίστοιχα,
$\tau_d$ η τοπολογία του $(X\times Y,d)$
και $\tau$ η τοπολογία του γινομένου των $(X,\tau_X),(Y,\tau_Y)$

Μια βάση για την $\tau_{X}$ αποτελεί το σύνολο $\{B_{d_X}(x_o,\varepsilon) | x_o\in X,\varepsilon>0\}$
Μια βάση για την $\tau_{Y}$ αποτελεί το σύνολο $\{B_{d_Y}(y_o,\varepsilon) | y_o\in Y,\varepsilon>0\}$
Μια βάση για την $\tau_d$ αποτελεί το σύνολο $\{B_d((x_o,y_o),\varepsilon)|x_o\in X, y_o\in Y,\varepsilon>0\}$

Μια υποβάση (εξ' ορισμού) για την $\tau$ αποτελεί η ένωση $\{A \times Y | A \in \tau_X\} \cup \{ X \times B | B \in \tau_Y \}$
Θεωρώντας τις πεπερασμένες τομές των μελών της λαμβάνουμε για την $\tau$ την ακόλουθη βάση $\{A\times B | A\in\tau_X, B\in\tau_Y\}$
και από αυτήν βρίσκουμε ότι:
Μια βάση για την $\tau$ αποτελεί το σύνολο $\{B_{d_X}(x_o,\varepsilon_1)\times B_{d_Y}(y_o,\varepsilon_2) | x_o\in X, y_o\in Y,\varepsilon_1,\varepsilon_2>0 \}$

Έστω $( x_o , y_o) \in X \times Y$
1. Από τον εγκλεισμό $(x_o,y_o) \in B_d((x_o,y_o),\varepsilon)$ $\subset B_{d_X}(x_o,\varepsilon)\times B_{d_Y}(y_o,\varepsilon)$ έχουμε $\tau\subset \tau_d$
2. Από τον εγκλεισμό $( x_o , y_o)\in B_{d_X}(x_o,\frac{\varepsilon}{2})\times B_{d_Y}(y_o,\frac{\varepsilon}{2})\subset B_d((x_o,y_o),\varepsilon)$ έχουμε $\tau_d\subset \tau$
Οπότε λαμβάνουμε $\tau_d = \tau$

abfx · #84

16) Είναι γενικά γνωστό ότι αν $(\mathcal T_i)_{i\in I}$ οικογένεια τοπολογιών στο σύνολο

, τότε $\displaystyle \bigcap_{i\in I}\mathcal T_i$ τοπολογία στο

. Είναι άραγε πάντα αλήθεια ότι, αν $(\mathcal T_i)_{i\in I}$ οικογένεια μετρικών τοπολογιών στο

, τότε $\displaystyle \bigcap_{i\in I}\mathcal T_i$ μετρική τοπολογία στο

;

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #85

abfx έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2024 8:37 pm
16) Είναι γενικά γνωστό ότι αν $(\mathcal T_i)_{i\in I}$ οικογένεια τοπολογιών στο σύνολο , τότε $\displaystyle \bigcap_{i\in I}\mathcal T_i$ τοπολογία στο . Είναι άραγε πάντα αλήθεια ότι, αν $(\mathcal T_i)_{i\in I}$ οικογένεια μετρικών τοπολογιών στο , τότε $\displaystyle \bigcap_{i\in I}\mathcal T_i$ μετρική τοπολογία στο ;

Η απάντηση φαίνεται πως είναι αρνητική.

Έστω $X=\mathbb{R}$ ,

η ευκλείδεια μετρική και $\tau_d$ η τοπολογία της

Θεωρούμε την 1-1 και επί συνάρτηση $f\colon X\to X$ με $f(x)=\begin{cases}x &, x\in\mathbb{Q}\\x+1 &, x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$
Έστω $\tilde{d}$ η μετρική στο

που καθιστά την

ισομετρία, ήτοι $\tilde{d}(x,y)=d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$ και $\tau_{\tilde{d}}$ η τοπολογία της.
Η

θα είναι και ομοιομορφισμός μεταξύ των τοπολογικών χώρων $(X,\tau_d)$ , $(X,\tau_{\tilde{d}})$
οπότε $\tau_{\tilde{d}}=\{U\in\mathcal{P}(X)| U=f(V),V\in\tau_d\}$
Θεωρούμε την τομή των δυο τοπολογιών $\tau=\tau_d\cap \tau_{\tilde{d}}$

Η $\tau$ δεν είναι μετρήσιμη τοπολογία στο

επειδή ο $(X,\tau)$ δεν είναι Hausdorff.
Συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι:
για $a\notin \mathbb{Q}$ αν U,V

οποιαδήποτε ανοιχτά σύνολα του $(X,\tau)$ με $a\in U$ και $a+1\in V$ τότε $U\cap V\ne \emptyset$ .

Επειδή $U,V\in\tau_d$ θα υπάρχει $\delta\in(0,\frac{1}{2})$ ώστε $(a-\delta,a+\delta)\subset U$ και $(a+1-\delta,a+1+\delta)\subset V$ .
Επειδή $V\in\tau_{\tilde{d}}$ θα πρέπει f(W)=V

για κάποιο $W\in\tau_{d}$
Επειδή $a\notin\mathbb{Q}$ θα έχουμε f(a)=a+1

οπότε $a\in W$
Επειδή $W\in\tau_{d}$ θα υπάρχει $\delta^\prime\in(0,\delta)$ ώστε $(a-\delta^\prime,a+\delta^\prime)\subset W$
Όμως $(a-\delta^\prime,a+\delta^\prime)\cap\mathbb{Q}=f((a-\delta^\prime,a+\delta^\prime)\cap\mathbb{Q})\subset V$ και $(a-\delta^\prime,a+\delta^\prime)\cap\mathbb{Q}\subset U$ οπότε $(a-\delta^\prime,a+\delta^\prime)\cap\mathbb{Q}\subset U\cap V$ , επομένως $U\cap V\ne\emptyset$

Κατά συνέπεια ο $(X,\tau)$ δεν είναι Hausdorff οπότε δεν είναι μετρήσιμος $\blacksquare$

Σημείωση
Ο χώρος $(X,\tau)$ έχει μη τετριμμένα ανοιχτά σύνολα. Για παράδειγμα αν $b\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ και $a\in\mathbb{R}$ το σύνολο $A=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\big(a-b+n,a+b+n\big)$
είναι ανοιχτό. Πράγματι, $A\in\tau_d$ και f(A)=A

οπότε $A\in\tau$

Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Re: Ασκήσεις Τοπολογίας

Μέλη σε σύνδεση