Ασκήσεις Τοπολογίας

[stranger]

1) Να αποδειχτεί ότι ο δεν είναι ομοιομορφικός με τον για .
Εδώ παίρνουμε τις συνήθεις τοπολογίες αυτών των χώρων.

[Mihalis_Lambrou]

1) Να αποδειχτεί ότι ο δεν είναι ομοιομορφικός με τον για .
Εδώ παίρνουμε τις συνήθεις τοπολογίες αυτών των χώρων.

Ενδιαφέρουσα αλλά αρκετά γνωστή άσκηση. Συνήθως εμφανίζεται στην παραλλαγή όπου ζητείται να αποδειχθεί το αντίστοιχο για το διάστημα και τον ανοικτό δίσκο ακτίνας . Το ωραίο τεχνασματάκι είναι να αφαιρεθεί από ένα σημείο από τα και . Η ομοιομορφία, αν υπάρχει, διατηρείται. Πλην όμως το μεν χωρίς το σημείο παύει να είναι συνεκτικό αλλά η εικόνα του είναι συνεκτικό. Υπόψη ότι υπό ομοιομορφισμούς η συνεκτικότητα διατηρείται, από όπου το άτοπο.

[stranger]

Σας ευχαριστώ για την απάντησή σας.
Και εγώ τη συνεκτικότητα είχα στο μυαλό μου όταν την έβαζα την άσκηση.

[tractatus]

Το με το κλπ είναι ομοιομορφικά όμως έτσι? γιατί αν αφαιρέσεις ένα σημείο εξακολουθούν να είναι συνεκτικά , η κάνω λάθος?

[stranger]

Όχι δεν είναι ομοιομορφικά. Η συνεκτικότητα δεν δουλεύει στην συγκεκριμένη περίπτωση.

[Mihalis_Lambrou]

Το με το κλπ είναι ομοιομορφικά όμως έτσι? γιατί αν αφαιρέσεις ένα σημείο εξακολουθούν να είναι συνεκτικά , η κάνω λάθος?

Μάλλον μπερδεύεις το ικανό με το αναγκαίο των θεωρημάτων. Θα πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις αυτά.

[tractatus]

αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα και για και δεν είνα ομοιομορφικά

[stranger]

αρα θα μπορούσαμε να πούμε οτι τα και για και δεν είνα ομοιομορφικά

Ακριβώς. Η απόδειξη δεν είναι εύκολη όμως. Η απόδειξη που ξέρω χρησιμοποιεί ομάδες ομολογίας(homology theory).

[tractatus]

Μάλλον μπερδεύεις το ικανό με το αναγκαίο των θεωρημάτων. Θα πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις αυτά.

αυτό ακριβώς ρωτάω αν είναι ικανό και αναγκαίο δηλαδή να η συνεκτικότητα επεται τον ομοιομορφισμό, επειδή ισχυέι η συνεκτικότητα ρωτάω είναι και ομοιμορφισμός ?

[stranger]

Μάλλον μπερδεύεις το ικανό με το αναγκαίο των θεωρημάτων. Θα πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις αυτά.

αυτό ακριβώς ρωτάω αν είναι ικανό και αναγκαίο δηλαδή να η συνεκτικότητα επεται τον ομοιομορφισμό, επειδή ισχυέι η συνεκτικότητα ρωτάω είναι και ομοιμορφισμός ?

Ο ομοιομορφισμός διατηρεί την συνεκτικότητα, όχι το αντίστροφο.

[tractatus]

Ακριβώς. Η απόδειξη δεν είναι εύκολη όμως. Η απόδειξη που ξέρω χρησιμοποιεί ομάδες ομολογίας(homology theory).

δεν γνωρίζω σε τι ακριβώς αναφαίρεστε αλλά μου ακούγεται σαν τομέας της άλγεβρας , με μια απλή αναζήτηση βρήκα οτί σχετίζεται κάπως με την αλγεβρική τοπολογία , που ούτε και αυτό ξέρω τι είναι (μαθηματικά μιλώντας) γιατί μια διαίσθηση έχω από αυτά που διάβασα στην Wikipedia

[stranger]

Ακριβώς. Η απόδειξη δεν είναι εύκολη όμως. Η απόδειξη που ξέρω χρησιμοποιεί ομάδες ομολογίας(homology theory).

δεν γνωρίζω σε τι ακριβώς αναφαίρεστε αλλά μου ακούγεται σαν τομέας της άλγεβρας , με μια απλή αναζήτηση βρήκα οτί σχετίζεται κάπως με την αλγεβρική τοπολογία , που ούτε και αυτό ξέρω τι είναι (μαθηματικά μιλώντας) γιατί μια διαίσθηση έχω από αυτά που διάβασα στην Wikipedia

Το ερώτημα είναι καθαρά τοπολογικό. Ο ομοιομορφισμός είναι τοπολογική ιδιότητα.
Η απόδειξη του όμως ανήκει στην αλγεβρική τοπολογία, χρησιμοποιώντας ομάδες ομολογίας(οι ομάδες είναι αλγεβρικό αντικείμενο).

[Mihalis_Lambrou]

... επειδή ισχυέι η συνεκτικότητα ρωτάω είναι και ομοιμορφισμός ?

Θα έπρεπε εύκολα να μπορείς να απαντήσεις μόνος σου: Εξέτασε δύο "πολύ διαφορετικά" συνεντικά σύνολα. Δεν είναι δυνατόν να αναμένεις ότι υπάρχει συνεχής, και λοιπά, απεικόνηση μεταξύ τους.

Άσκηση για σένα: Δείξε ότι δεν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ του συνεκτικού συνόλου και της περιφέρειας κύκλου ακτίνας , που είναι επίσης συνεκτικό.

[stranger]

2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.

[stranger]

3) Δείξτε ότι σε έναν χώρο Haussdorf κάθε συγκλίνουσα ακολουθία έχει μοναδικό όριο.
Ισχύει κάτι ισχυρότερο: Ένας τοπολογικός χώρος είναι Haussdorf αν και μόνο αν κάθε δίκτυο του έχει το πολύ ένα όριο.

[Mihalis_Lambrou]

3) Δείξτε ότι σε έναν χώρο Haussdorf κάθε συγκλίνουσα ακολουθία έχει μοναδικό όριο.

Νομίζω ότι παραείναι απλό (και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας) αφού όλη η ουσία του ορισμού των χώρων Hausdorff είναι για να εξασφαλίσουν μοναδικό όριο. Για την απόδειξη:

'Εστω ότι μία ακολουθία συγκλίνει σε ένα σημείο και έστω . Παίρνουμε δύο ξένες περιοχές των σημείων αυτών, πράγμα που μπορούμε εξ ορισμού. Τότε όλοι οι όροι της ακολουθίας, από έναν δείκτη και πέρα, βρίσκονται στην και άρα όχι στην . Οπότε η ακολουθία δεν συγκλίνει στο .

[stranger]

3) Δείξτε ότι σε έναν χώρο Haussdorf κάθε συγκλίνουσα ακολουθία έχει μοναδικό όριο.

Νομίζω ότι παραείναι απλό (και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας) αφού όλη η ουσία του ορισμού των χώρων Hausdorff είναι για να εξασφαλίσουν μοναδικό όριο. Για την απόδειξη:

'Εστω ότι μία ακολουθία συγκλίνει σε ένα σημείο και έστω . Παίρνουμε δύο ξένες περιοχές των σημείων αυτών, πράγμα που μπορούμε εξ ορισμού. Τότε όλοι οι όροι της ακολουθίας, από έναν δείκτη και πέρα, βρίσκονται στην και άρα όχι στην . Οπότε η ακολουθία δεν συγκλίνει στο .

Το ισχυρότερο για τα δίκτυα; Νομίζω ότι χρειάζεται αξίωμα της επιλογής.

[tractatus]

Άσκηση για σένα: Δείξε ότι δεν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ του συνεκτικού συνόλου και της περιφέρειας κύκλου ακτίνας , που είναι επίσης συνεκτικό.

δεν είναι πιο απλό να πάρω το γιατί αυτό είναι ανοιχτό ενώ το το κλειστό και άρα η αντίστροφη θα πηγαίνει το κλειστό σε ανοιχτό αρα δεν θα είναι ομοιομορφισμός , δεν ξέρω πως να το δείξω για το .Δεν το σκέφτηκα και πολύ η αλήθεια είναι όμως γιατί έχω να διαβάσω για την αυριανή διάλεξη οπότε δε θα μπορέσω να σας απαντήσω άμεσα.

[stranger]

3) Δείξτε ότι σε έναν χώρο Haussdorf κάθε συγκλίνουσα ακολουθία έχει μοναδικό όριο.

Νομίζω ότι παραείναι απλό (και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας) αφού όλη η ουσία του ορισμού των χώρων Hausdorff είναι για να εξασφαλίσουν μοναδικό όριο. Για την απόδειξη:

'Εστω ότι μία ακολουθία συγκλίνει σε ένα σημείο και έστω . Παίρνουμε δύο ξένες περιοχές των σημείων αυτών, πράγμα που μπορούμε εξ ορισμού. Τότε όλοι οι όροι της ακολουθίας, από έναν δείκτη και πέρα, βρίσκονται στην και άρα όχι στην . Οπότε η ακολουθία δεν συγκλίνει στο .

Το ισχυρότερο για τα δίκτυα; Νομίζω ότι χρειάζεται αξίωμα της επιλογής.

Γράφω το ισχυρότερο για τα δίκτυα. Τα δίκτυα είναι μια γενίκευση της ακολουθίας που την εξετάζουμε κυρίως στην τοπολογία.
Δίκτυο είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο σε ένα σύνολο
ώστε το να είναι κατευθυνόμενο δηλ. να υπάρχει μια μερική διάταξη στο ώστε για κάθε .
Ο ορισμός του ορίου ενός δικτύου είναι ότι το δίκτυο συγκλίνει στο όταν για κάθε περιοχή του υπάρχει ώστε για κάθε .

Το ότι σε έναν Haussdorf χώρο τα όρια δικτύων είναι μοναδικά ορισμένα αποδεικνύεται εύκολα(όπως το απέδειξε ο κύριος Λάμπρου για ακολουθίες παραπάνω).
Τώρα θα δείξουμε ότι αν σε έναν τοπολογικό χώρο κάθε δίκτυο με τιμές στον έχει το πολύ ένα όριο, τότε ο είναι Haussdorf.
Έστω με . Θα δείξουμε ότι υπάρχουν περιοχές του και του ώστε .Είς άτοπον. Έστω και όλες οι περιοχές των και αντίστοιχα.
Τότε για κάθε και κάθε .
Ορίζουμε μερικές διατάξεις στο και με όταν και στο το ίδιο.
Τότε τα είναι κατευθυνόμενα οπότε ορίζουμε τo δίκυτο με να είναι ένα τυχαίο στοιχείο του (χρησιμοποιούμε αξίωμα επιλογής φυσικά).
Τότε εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αυτό το δίκτυο συγκλίνει και στο και στο το οποίο είναι άτοπο.

[stranger]

2) Δείξτε ότι μια συνεντική τοπολογική πολλαπλότητα(manifold) είναι συνεκτική κατά τόξα.

Κανείς;