Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές DC,BC

του $5\times 2$ ορθογωνίου ABCD

, κατά

ίσα τμήματα CS,CP(=d)

.Υπολογίστε το

, ώστε : $\widehat{ASB} = \widehat{APD}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε:Ίσες γωνίες.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του $5\times 2$ ορθογωνίου , κατά

ίσα τμήματα .Υπολογίστε το , ώστε : $\widehat{ASB} = \widehat{APD}$ .

$\displaystyle{\angle DPA = \angle ASB \Rightarrow \tan \left( {\omega - \varphi } \right) = \tan \left( {x - \theta } \right)}$ και με $\displaystyle{\tan \omega = \frac{{d + 2}}{5},\tan \varphi = \frac{d}{5},\tan \theta = \frac{d}{2},\tan x = \frac{{d + 5}}{2}}$ παίρνουμε $\displaystyle{\boxed{d = 7}}$

: ig.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

#3

KARKAR έγραψε:Ίσες γωνίες.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του $5\times 2$ ορθογωνίου , κατά

ίσα τμήματα .Υπολογίστε το , ώστε : $\widehat{ASB} = \widehat{APD}$ .

: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο.png (13.71 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Από Π. Θ βρίσκω SB^2=x^2+4

και

Είναι ακόμα: $\displaystyle{\sin \varphi = \sin \left( {{{90}^0} - (\omega + {{\widehat B}_1})} \right) = \cos (\omega + {\widehat B_1}) = \frac{{2\cos \omega }}{{SB}} - \frac{{x\sin \omega }}{{SB}}}$

$\displaystyle{\sin \theta = \sin \left( {{{90}^0} - (\omega + {{\widehat D}_1})} \right) = \cos (\omega + {\widehat D_1}) = \frac{{5\cos \omega }}{{PD}} - \frac{{x\sin \omega }}{{PD}}}$

Από νόμο ημιτόνων τώρα στα τρίγωνα ABS, ADP:

$\displaystyle{\frac{5}{{\sin \omega }} = \frac{{{x^2} + 4}}{{2\cos \omega - x\sin \omega }},\frac{2}{{\sin \omega }} = \frac{{{x^2} + 25}}{{5\cos \omega - x\sin \omega }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10\cos \omega - 5x\sin \omega = ({x^2} + 4)\sin \omega \\ 10\cos \omega - 2x\sin \omega = ({x^2} + 25)\sin \omega \end{array} \right. \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 10\cot \omega - 5x = {x^2} + 4\\ 10\cot \omega - 2x = {x^2} + 25 \end{array} \right. \Rightarrow }$ $\boxed{x=7}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε:Ίσες γωνίες.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές του $5\times 2$ ορθογωνίου , κατά

ίσα τμήματα .Υπολογίστε το , ώστε : $\widehat{ASB} = \widehat{APD}$ .

Kαλημέρα . Τα τρίγωνα ADP,ABS

είναι ισεμβαδικά .

Ειναι
$(ASB)=5=(ADP)\Rightarrow (AS)(SB)=(DP)(AP),(1), DP^{2}=d^{2}+25,(2), BS^{2}=d^{2}+4,(3), AP^{2}=29+d^{2}+4d,(4), AS^{2}=29+d^{2}+10d,(5), (1),(2),(3),(4),(5)\Rightarrow (d^{2}+29+10d)(d^{2}+4)= (d^{2}+25)(d^{2}+29+4d)\Rightarrow d=7$

Γιάννης

KARKAR · #5

: Ίσες γωνίες.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές

Γενικότερα : $tan\phi=\dfrac{\dfrac{a+x}{b}-\dfrac{x}{b}}{1-\dfrac{(a+x)x}{b^2}}=... = \dfrac{ab}{x^2+ax+b^2}$

Ομοίως : $tan\theta=\dfrac{ab}{x^2+bx+a^2}$ . Η εξίσωση των δύο εφαπτομένων , δίνει :

(a-b)x=a^2-b^2

, η οποία για a=b

έχει άπειρες λύσεις ( αν δηλαδή

το κίτρινο σχήμα ήταν τετράγωνο τότε προφανώς κάθε τιμή του

θα μας έκανε ) ,

ενώ για $a\neq b$ , η μοναδική λύση είναι η : x=a+b

Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Re: Ίσες γωνίες σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση