Απ' όλα

erxmer · #1

Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x^3-5x^2+ax+b

, το οποίο έχει παράγοντα το (x-1)^2

.

α) Χωρίς να υπολογίσετε τα a,b

, να αποδείξετε ότι $|a|+|b| \geq 3$ .

β) Να αποδείξετε ότι a=4, b=-1

.

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx'

.

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2ln^3x-5ln^2x+4lnx=1

ε) Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} cz-P(0)y)=\sqrt{2}\\ x+cy=\sqrt{2}+P(1)\\ \end{matrix}\right.}$

i. Να βρείτε τις τιμές του

για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση (x_0,y_0)

.
ii. Να βρείτε τις τιμές του

για τις οποίες υπάρχει $d \in R$ για το οποίο ισχύει: sind=x_0

και

.

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται το πολυώνυμο , το οποίο έχει παράγοντα το .

α) Χωρίς να υπολογίσετε τα , να αποδείξετε ότι $|a|+|b| \geq 3$ .

β) Να αποδείξετε ότι .

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα .

δ) Να λύσετε την εξίσωση

ε) Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} cz-P(0)y)=\sqrt{2}\\ x+cy=\sqrt{2}+P(1)\\ \end{matrix}\right.}$

i. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση .
ii. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες υπάρχει $d \in R$ για το οποίο ισχύει: και
.

.

α) $P\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow - 3 + a + b = 0 \Leftrightarrow a + b = 3$ . Εξάλλου ισχύει: $\left| a \right|+\left| b \right|\ge \left| a+b \right|\ge a+b=3$ .

β) Ας αποφύγουμε το σχήμα Horner. Θα υπάρχει πολυώνυμο $Q\left( x \right)=kx+m$ , ώστε $P\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} \cdot \left( {kx + m} \right) \Leftrightarrow \ldots$

$2{x^3} - 5{x^2} + ax + b = k{x^3} + \left( {m - 2k} \right)$ ${x^2} + \left( {k - 2m} \right)x + m \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} k = 2 \\ m - 2k = - 5 \\ a = k - 2m \\ b = m \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = 2 \\ m = - 1 \\ a = 4 \\ b = - 1 \\ \end{gathered} \right.$ .

γ) Αρκεί να λύσουμε την ανίσωση $P\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \\ \wedge \\ 2x - 1 > 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{x \in \left( {\frac{1}{2},1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}$ .

δ) $2{\ln ^3}x - 5{\ln ^2}x + 4\ln x - 1 = 0 \Leftrightarrow P\left( {\ln x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \left( {\ln x - 1} \right){}^2 = 0 \\ 2\ln x - 1 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \boxed{x = e\,\,(\delta \iota \pi \lambda \eta )} \\ \boxed{x = {e^{\frac{1}{2}}}} \\ \end{gathered} \right.$ .

ε) i) Το σύστημα για $P\left( 0 \right)=b=-1,P\left( 1 \right)=0$ γίνεται $\left\{ \begin{gathered} cx + y = \sqrt 2 \hfill \\ x + cy = \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Για να έχει μοναδική λύση το εν λόγω σύστημα (2χ2 γραμμικό) θα πρέπει $D \ne 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} c&1 \\ 1&c \end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {c^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \boxed{c \ne \pm 1}$ .

ii) Αν $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ είναι η «μοναδική» λύση θα είναι

${x_0} = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 2 }&1 \\ {\sqrt 2 }&c \end{array}} \right|}}{{{c^2} - 1}} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {c - 1} \right)}}{{{c^2} - 1}} \Rightarrow \ldots {x_0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{c + 1}}$ και ${y_0} = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} c&{\sqrt 2 } \\ 1&{\sqrt 2 } \end{array}} \right|}}{{{c^2} - 1}} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {c - 1} \right)}}{{{c^2} - 1}} \Rightarrow \ldots {y_0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{c + 1}}$ .

Αν $\left\{ \begin{gathered} \sin d = {x_0} \\ \cos d = {y_0} \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{{{\sin }^2}d + {{\cos }^2}d = 1} x_0^2 + y_0^2 = 1 \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} 2{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{c + 1}}} \right)^2} = 1 \\ c \ne \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{4}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}} = 1 \\ c \ne \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{gathered} {\left( {c + 1} \right)^2} = 4 \\ c \ne \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} c + 1 = \pm 2 \\ c \ne \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{c = 1\,\, \vee c = - 3}$ .

Στάθης

Απ' όλα

Απ' όλα

Re: Απ' όλα

Μέλη σε σύνδεση