Μονοτονία

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1339
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μονοτονία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Φεβ 23, 2018 11:31 pm

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \sin x είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9680
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μονοτονία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 24, 2018 8:49 am

Μονοτονία  ημιτόνου.png
Μονοτονία ημιτόνου.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές
Για : 0\leq\theta_{1}<\theta_{2}\leq\dfrac{\pi}{2} , αρκεί : y_{1}<y_{2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μονοτονία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 24, 2018 9:42 am

exdx έγραψε:
Παρ Φεβ 23, 2018 11:31 pm
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \sin x είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
Το σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου έχει απόδειξη, οπότε ο Γιώργης έχει κάτι άλλο στο μυαλό του. Θα κάνω μία γεωμετρική

προσπάθεια. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC(\widehat A=90^0) με AB σταθερή και D ένα τυχαίο σημείο της πλευράς CA.
sinx.png
sinx.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
Είναι a<bb είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου BDC) και \displaystyle CA > DA \Leftrightarrow CB > DB.

Άρα: \displaystyle \frac{1}{{CB}} < \frac{1}{{DB}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{CB}} < \frac{{AB}}{{DB}} \Rightarrow \sin a < \sin b και αυτό συμβαίνει για οποιεσδήποτε

οξείες γωνίες a,b με a<b επομένως η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \sin x είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]


Ευχαριστώ τον Χρήστο Ντάβα που μου επεσήμανε ότι στην προηγούμενη ανάρτηση (η οποία διεγράφη) είχα πάρει τη συνάρτηση της εφαπτομένης αντί του ημιτόνου.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6076
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μονοτονία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Φεβ 24, 2018 2:53 pm

Και αλγεβρικά:

Αν \displaystyle{a,b\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} με \displaystyle{a<b,} είναι \displaystyle{\frac{a+b}{2}\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}

και \displaystyle{a-b\in \left(-\frac{\pi}{4},0\right)}, οπότε

\displaystyle{\sin a-\sin b=2\underbrace{\sin \frac{a-b}{2}}_{<0} \underbrace{\cos \frac{a+b}{2}}_{>0}<0}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης