Λόγος με τα όλα του

#1

Αν

και $\log_9a=\log_{12}b=\log_{16}(a+b),$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{a}.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 10:33 am Αν και $\log_9a=\log_{12}b=\log_{16}(a+b),$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{a}.$

Καλημέρα!

Θέτω a=9^x,b=12^x,a+b=16^x,x

πραγματικός.
Είναι $\dfrac{b}{a}=\dfrac{12^x}{9^x}=\left ( \dfrac{4}{3} \right )^x=\left ( \dfrac{16}{12} \right )^x=\dfrac{a+b}{b}\Leftrightarrow a^2+ab-b^2=0\overset{a>0}{\Leftrightarrow }a=\dfrac{b\left ( \sqrt{5}-1 \right )}{2}$

Δηλαδή $\boxed{\dfrac{b}{a}=\Phi }$

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 10:50 am
george visvikis έγραψε: Παρ Αύγ 30, 2019 10:33 am Αν και $\log_9a=\log_{12}b=\log_{16}(a+b),$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{b}{a}.$
Καλημέρα!

Θέτω πραγματικός.
Είναι $\dfrac{b}{a}=\dfrac{12^x}{9^x}=\left ( \dfrac{4}{3} \right )^x=\left ( \dfrac{16}{12} \right )^x=\dfrac{a+b}{b}\Leftrightarrow a^2+ab-b^2=0\overset{a>0}{\Leftrightarrow }a=\dfrac{b\left ( \sqrt{5}-1 \right )}{2}$

Δηλαδή $\boxed{\dfrac{b}{a}=\Phi }$

Και γρήγορος και σωστός

Λόγος με τα όλα του

Λόγος με τα όλα του

Re: Λόγος με τα όλα του

Re: Λόγος με τα όλα του

Μέλη σε σύνδεση