κυβική-κυβική=ακέραιος

BAGGP93 · #1

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=2}$

#2

BAGGP93 έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2020 8:53 pm Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=2}$

Θα μπορούσε να είναι και στην άλγεβρα Α. Υποψιάζομε ότι ο σκοπός είναι η χρήση κάποιου πολυωνύμου, αλλά μπορούμε να επιχειρηματολογήσουμε ως εξής:

Εάν θέσουμε $x=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}>0$ , τότε είναι $\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=\dfrac{1}{x}$ .

Εάν υποθέσουμε προς στιγμή ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει θα είναι x>0

και $x-\dfrac{1}{x}=2\iff x^2-2x-1=0$ , οπότε $x=1+\sqrt{2}$ . Αρκεί, λοιπόν, να δείξουμε ότι $\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}=1+\sqrt{2}$ .

Πράγματι, είναι $(1+\sqrt{2})^3=1+3\sqrt{2}+3\sqrt{4}+\sqrt{8}=7+5\sqrt{2}=7+\sqrt{50}$ .

Συνεπώς,

$\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)=2$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

BAGGP93 έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2020 8:53 pm Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=2}$

Από την ταυτότητα Euler έπεται ότι αν για τρεις πραγματικούς αριθμούς a,b,c

ισχύει

τότε

.

Εδώ με $a= \sqrt[3]{\sqrt{50}+7},\, b=-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7},\,c=-2$ έχουμε

$a^3+b^3+c^3= (\sqrt{50}+7})-({\sqrt{50}-7})- 8=6$ και

$3abc = -3\cdot (-2)\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}= 6\sqrt[3]{50-49}=6$ (το ίδιο με πριν).

To ζητούμενο είναι τώρα άμεσο από την a+b=-c

.

BAGGP93 · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις απαντήσεις σας. Ακόμη μια ιδέα (με πολυώνυμο). Πράγματι, αν $x=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}$ , τότε

με χρήση της ταυτότητας $(a-b)^3=a^3-b^2-3\,a\,b(a-b)$ βρίσκουμε για $a=\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}\,,b=\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}$ ότι

$x^3=14-3\,x$

όποτε αναγόμαστε στην εύρεση των ριζών του πολυωνύμου $t^3+3\,t-14$ (όπου με σχήμα Horner προκύπτει η ρίζα

).

Το πείραξα το πρόβλημα από αυτό εδώ το βιντεάκι με τα αναμενόμενα σχόλια από κάτω.

https://youtu.be/5pa1AryylpM

kkala · #5

Στο "Κυβικές ρίζες" <viewtopic.php?f=21&t=62973> υπάρχει εντελώς όμοια άσκηση και λύνεται με ίδιες μεθόδους όπως και εδώ.

Ένα συναφές ερώτημα είναι πότε η παράσταση $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$ μπορεί να μετασχηματισθεί σε $x+\sqrt{y}$ , όπου b, y θετικοί μη τέλεια τετράγωνα. Άσκηση 587 στα "Μαθήματα Αλγεβρας" Γ. Χ. Παπανικολάου, 3η έκδοση (1937).

Λευτέρης Παπανικολάου · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2020 9:09 pm
BAGGP93 έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2020 8:53 pm Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}=2}$
Από την ταυτότητα Euler έπεται ότι αν για τρεις πραγματικούς αριθμούς ισχύει τότε .

Εδώ με $a= \sqrt[3]{\sqrt{50}+7},\, b=-\sqrt[3]{\sqrt{50}-7},\,c=-2$ έχουμε

$a^3+b^3+c^3= (\sqrt{50}+7})-({\sqrt{50}-7})- 8=6$ και

$3abc = -3\cdot (-2)\sqrt[3]{\sqrt{50}+7}\sqrt[3]{\sqrt{50}-7}= 6\sqrt[3]{50-49}=6$ (το ίδιο με πριν).

To ζητούμενο είναι τώρα άμεσο από την .

Γεια σας! Με τον ίδιο τρόπο την έχω λύσει κι εγώ! Απλά να πω ότι δεν είναι απαραίτητο να έχουν άθροισμα ίσο με μηδέν, μπορεί να είναι ίσοι (και μη μηδενικοί). Καλή συνέχεια...

#7

left έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2020 5:45 pm μπορεί να είναι ίσοι (και μη μηδενικοί). Καλή συνέχεια...

Σωστό μεν αλλά το άφησα διότι η περίπτωση αυτή δεν μας αφορά εδώ. Νομίζω ότι κανείς δεν αμφιβάλει δεν είναι ίσοι οι

$\sqrt[3]{\sqrt{50}+7},\, -\sqrt[3]{\sqrt{50}-7},\,c=-2$ (π.χ. ο πρώτος είναι θετικός και ο τρίτος αρνητικός).

Όπως και να είναι, παράλειψή μου που δεν το ανέφερα ρητά.

Ευχαριστώ.

Λευτέρης Παπανικολάου · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2020 10:10 pm
left έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2020 5:45 pm μπορεί να είναι ίσοι (και μη μηδενικοί). Καλή συνέχεια...
Σωστό μεν αλλά το άφησα διότι η περίπτωση αυτή δεν μας αφορά εδώ. Νομίζω ότι κανείς δεν αμφιβάλει δεν είναι ίσοι οι

$\sqrt[3]{\sqrt{50}+7},\, -\sqrt[3]{\sqrt{50}-7},\,c=-2$ (π.χ. ο πρώτος είναι θετικός και ο τρίτος αρνητικός).

Όπως και να είναι, παράλειψή μου που δεν το ανέφερα ρητά.

Ευχαριστώ.

Να είστε καλά κύριε Λάμπρου, καλό βράδυ!

κυβική-κυβική=ακέραιος

κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Re: κυβική-κυβική=ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση