Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78.png (7.48 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

$\bigstar$ Το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές και το

σημείο της προέκτασης της

. Υπολογίστε την : $\tan\phi$

Manolis Petrakis · #2

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{(BCA)}{(CSA)}=\dfrac{AB \cdot \sin 2\theta}{AS \cdot \sin\theta}=\dfrac{\sin \phi \cdot \sin 2\theta}{\sin \widehat{B} \cdot \sin\theta}=\dfrac{\sin (90^{\circ}-2\theta) \cdot \sin 2\theta}{\sin (90^{\circ}-\theta) \cdot \sin\theta}=\dfrac{\cos 2\theta \sin 2\theta}{\cos \theta \sin \theta}=2\cos 2\theta (1)$
$\cos 2\theta=\dfrac{1}{4}$

Τέλος: $\tan \phi=\tan (90^{\circ}-2\theta)=\csc 2\theta=\dfrac{\cos 2\theta}{\sqrt{1-\cos^2 2\theta}}=\dfrac{\sqrt {15}}{15}$

Edit: Υπολόγισα την $tan \theta$ και όχι την $\tan \phi$ που ζητούσε το πρόβλημα

#3

Έστω ότι το ύψος του ABC

είναι

: Ώρα εφαπτομένης.78Κ.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές

$\displaystyle \frac{{DC}}{{CS}} = \frac{{AD}}{{AS}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{x}{{AS}} \Leftrightarrow AS = 4x$ και $\displaystyle \sin \varphi = \frac{1}{4} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \varphi = \frac{1}{{\sqrt {15} }}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 10, 2021 1:23 pm Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78.png $\bigstar$ Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το σημείο της προέκτασης της . Υπολογίστε την : $\tan\phi$

Θεωρώ το παραλληλόγραμμο

$ABEM,\hat{AEN}=2\theta ,\hat{EAN}=\theta , MN//AB\Rightarrow \dfrac{MN}{b}=\dfrac{a}{3a}=\dfrac{NS}{AS}\Rightarrow MN=\dfrac{b}{3}, EN=\dfrac{4b}{3}, \hat{AEN}=2\hat{EAN}\Rightarrow AN^{2}=EN^{2}+EN.AE\ AN=\dfrac{2b\sqrt{10}}{3},AEN,sin2\theta =\dfrac{\sqrt{15}}{4},\phi =90-2\theta \Rightarrow tan\phi =\dfrac{\sqrt{15}}{15}$

nickchalkida · #5

Επειδή η $B\widehat{A}C$ διχοτομείται το

βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου του

και επειδή η $B\widehat{A}S$ τριχοτομείται το

θα προσδιορίζεται από την υπερβολή (B,G,C)

.
(Για την συγκεκριμένη κατασκευή το

ανήκει στο παραπληρωματικό τόξο.)
Κάνοντας χρήση κάποιων Απολλώνιων ιδιοτήτων, παίρνουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {DE^2 \over SD \cdot DC} = {BH^2 \over SB \cdot BC} \rightarrow DE^2 = {(3a)^2 \bigl({5a \over 2}\bigr) \bigl({a \over 2}\bigr) \over (3a) \cdot a } \rightarrow DE = \sqrt{15}\bigl({a \over 2}\bigr) \cr & AD\cdot DE = BD \cdot DS \rightarrow AD = {\bigl({a \over 2}\bigr) \bigl({5a \over 2}\bigr) \over \sqrt{15} \bigl({a \over 2}\bigr) } = \sqrt{{5 \over 3}}\bigl({a \over 2}\bigr) \cr & \tan\phi = {\sqrt{{5 \over 3}}\bigl({a \over 2}\bigr) \over \bigl({5a \over 2}\bigr)} = {1 \over \sqrt{15}} \cr \end{aligned} }$

Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Re: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Re: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Re: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Re: Διπλάσια γωνία 18 και ώρα εφαπτομένης 78

Μέλη σε σύνδεση