Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

$\bigstar$ Στο επίπεδο του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, εντοπίστε σημείο

, τέτοιο ώστε

το τρίγωνο SBC

να έχει περίμετρο ίση με το ABC

, αλλά το μισό του εμβαδόν .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 7:11 pm Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν.png $\bigstar$ Στο επίπεδο του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε

το τρίγωνο να έχει περίμετρο ίση με το , αλλά το μισό του εμβαδόν .

: Ίση περ. μισό εμβ..png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 7:11 pm $\bigstar$ Στο επίπεδο του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε

το τρίγωνο να έχει περίμετρο ίση με το , αλλά το μισό του εμβαδόν .

: Isi per.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

To ύψος του ισοπλεύρου είναι $h =\dfrac {a\sqrt 3}{2}$ . Άρα το

απέχει από την βάση απόσταση $SE= \dfrac {a\sqrt 3}{4}$ . Aν CE=x

τότε η συνθήκη της περιμέτρου δίνει

$2a=BS+SC= \sqrt {(a+x)^2+ \left ( \dfrac {a\sqrt 3}{4}\right )^2}+ \sqrt {x^2+ \left ( \dfrac {a\sqrt 3}{4}\right )^2}$ .

Λύνοντας θα βρούμε $\boxed {x= \dfrac {(\sqrt 3-1)a}{2} }$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 7:11 pm Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν.png $\bigstar$ Στο επίπεδο του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο , τέτοιο ώστε

το τρίγωνο να έχει περίμετρο ίση με το , αλλά το μισό του εμβαδόν .

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου και $\displaystyle B\left( { - \frac{a}{2},0} \right),C\left( {\frac{a}{2},0} \right).$ Από τη σχέση των εμβαδών

προκύπτει ότι το

κινείται στην ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.$

: Ίση περ. μισό εμβ..png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Εξάλλου, επειδή SB+SC=2a,

το

ανήκει στην έλλειψη με εστίες τα σημεία C, B

και μεγάλο

άξονα 2a,

όπου εύκολα βρίσκω την εξίσωσή της $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{4{y^2}}}{{3{a^2}}} = 1.$ Με αντικατάσταση τώρα του

$\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{1}{4} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ Έχουμε λοιπό τα σημεία $\displaystyle S'\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right),S\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2},\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right).$

Υπάρχουν ακόμα δύο σημεία στο νότιο τμήμα της έλλειψης συμμετρικά των S', S

ως προς τον άξονα των

Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

Re: Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

Re: Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

Re: Ίση περίμετρος , μισό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση