Ψάξτε για θέση

KARKAR · #1

: Ψάξτε για θέση.png (9.09 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Από σημείο

τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας

, φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την

στο σημείο

. Βρείτε την θέση του

, για την οποία : OP=2

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2026 12:48 pm
Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

.
Είναι

με

. Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο OTS

, όπου $OS=R, \, TS=a, \, OT=b$ έχουμε

$2=OP= \dfrac {Rb}{a+R}= \dfrac {Rb}{\sqrt {R^2-b^2}+R} = \dfrac {5b}{\sqrt {25-b^2}+5}$ . Λύνοντας την εξίσωση θα βρούμε

$\boxed {b= \dfrac {100}{29}}$ και άρα $\boxed {a= \dfrac {105}{29}}$

Γενικότερα, για ακτίνα

και

βγαίνει $\boxed {a= \dfrac {(R^2-d^2)R}{R^2+d^2}, \, b= \dfrac {2dR^2}{R^2+d^2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2026 12:48 pm
Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

.

: Ψάξτε.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

.
Αλλιώς, απλά και καθαρά γεωμετρικά: Συμπληρώνουμε το τεταρτοκύκλιο ώστε να γίνει ημικύκλιο. Παρατηρούμε ότι αν συνδέσουμε τυχαίο σημείο

της περιφέρειας του τεταρτοκυκλίου με το

, τότε η

είναι διχοτόμος της $\widehat {TSO}$ . Πράγματι, από την παραλληλία ST||AB

έχουμε την ισότητα των δύο γωνιών $\theta$ (η μία είναι η κάτω αριστερά). Επίσης, από το ισοσκελές τρίγωνο OSB

και η τρίτη γωνία $\theta$ είναι ίση με τις προηγούμενες, οπότε η

είναι διχοτόμος.

Τώρα, αν πάρουμε OP=2

(ή γενικότερα

), και φέρουμε την

μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο

, τότε το σημείο αυτό είναι το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2026 12:48 pm
Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

Λόγω ισότητας των γωνιών $\theta$ η

εφάπτεται του κύκλου (Q,S,P)

Άρα $5^2=2.OQ\Rightarrow OQ= \dfrac{25}{2}$

Το ημικύκλιο διαμέτρου $PQ= \dfrac{25}{2}-2= \dfrac{21}{2}$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο ζητούμενο σημείο

: Ψάξε για θέση.png (31.65 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2026 12:48 pm
Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

Ωραία γεωμετρική κατασκευή είναι του Μιχάλη Λάμπρου (#3)

Ας δούμε όμως άλλη μία υπολογιστική. Θέτω PT=x

και από θεώρημα διχοτόμου είναι, $\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{{TS}}{5} \Leftrightarrow TS = \frac{{5x}}{2}$

: Ψάξτε για θέση.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

$\displaystyle \sin 2\theta = \frac{{x + 2}}{5},\cos 2\theta = \frac{{TS}}{5} = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{25}} + \frac{{{x^2}}}{4} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=\frac{42}{29}}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 26, 2026 12:48 pm
Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της

$\widehat{TSO}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

.

: Ψάξτε 2.png (23.75 KiB) Προβλήθηκε 37 φορές

.

Γεωμετρικά.

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε η διχοτόμος. Τότε από την παραλληλία ST||OA

θα είναι $\widehat {SOA}=2\theta$ . Άρα από το ισοσκελές τρίγωνο OAS

θα είναι $\widehat {OSA}=90-\theta$ και άρα η γωνία $\widehat {SOA}=2\theta +(90- \theta)=90$ . Έπεται ότι το OPSA

είναι εγγράψιμο (δύο απέναντι γωνίες ορθές) και άρα $\widehat {PAO}=\theta$

Σύνθεση: Γράφουμε τον κύκλο ο οποίος βλέπει το

κατά την ίδια γωνία με την οποία το βλέπει το

(είναι αυτός που έχει διάμετρο την

). Εκεί που ο κύκλος αυτός τέμνει το τεταρτοκύκλιο είναι το ζητούμενο σημείο

. Η απόδειξη είναι τα βήματα που περιγράφει η Ανάλυση, με ανάποδη σειρά.

Ψάξτε για θέση

Ψάξτε για θέση

Re: Ψάξτε για θέση

Re: Ψάξτε για θέση

Re: Ψάξτε για θέση

Re: Ψάξτε για θέση

Re: Ψάξτε για θέση

Μέλη σε σύνδεση