Μοναδική ρίζα !

maiksoul · #1

'Εστω

ρίζα της εξίσωσης: x^3+6x^2+9x+6=0...(1)

. Δείξτε ότι το

είναι και η μόνη ρίζα της (1)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

maiksoul έγραψε:'Εστω ρίζα της εξίσωσης: . Δείξτε ότι το είναι και η μόνη ρίζα της
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
θα ήθελα οι λύσεις, τουλάχιστον αρχικά, να είναι (όσον αφορά την ύλη ) εντός φακέλου

Προφανώς η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες και $\displaystyle{k < 0}$

$\displaystyle{{x^3} + 6{x^2} + 9x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} - 3\left( {x + 2} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x +1)^2}(x + 4) + 2 = 0}$

Από την τελευταία $\displaystyle{{(x + 1)^2}(x + 4) = - 2 < 0 \Rightarrow x + 4 < 0 \Rightarrow \boxed{x < - 4}}$

Έστω τώρα ότι εκτός της ρίζας $\displaystyle{k}$ έχει και δεύτερη ρίζα $\displaystyle{m}$ .Θέτοντας στη δοθείσα εξίσωση όπου $\displaystyle{x}$ τα $\displaystyle{k,m}$ και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{\left( {k - m} \right)\left( {{k^2} + km + {m^2} + 6k + 6m + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {k - m} \right)\left[ {{k^2} + (m + 6)k + {{(m + 3)}^2}} \right] = 0}$

Το τριώνυμο $\displaystyle{{{k^2} + (m + 6)k + {{(m + 3)}^2}}}$ έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = - 3m\left( {m + 4} \right) < 0}$ συνεπώς είναι πάντα θετικό ,οπότε $\displaystyle{k - m = 0 \Rightarrow \boxed{k = m}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Διαφορετικά το δεύτερο μέρος της απόδειξης του Μιχάλη.

Ο Μιχάλης έδειξε ότι αν

ρίζα της εξίσωσης τότε r< -4

(αυτό είναι το δύσκολο)

Αν η εξίσωση δεν είχε μοναδική πραγματική ρίζα τότε θα είχε τρεις έστω $r_{1},r_{2},r_{3}$

Επειδή $x^{3}+6x^{2}+9x+6=(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})$

παίρνουμε ότι $r_{1}+r_{2}+r_{3}=-6$

Δηλαδή $-6=r_{1}+r_{2}+r_{3}< -4-4-4=-12$ που είναι ΑΤΟΠΟ.

maiksoul · #4

Καλημέρα ! Πολύ ωραία , σας ευχαριστώ και τους δύο !

Μοναδική ρίζα !

Μοναδική ρίζα !

Re: Μοναδική ρίζα !

Re: Μοναδική ρίζα !

Re: Μοναδική ρίζα !

Μέλη σε σύνδεση