Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2023 10:22 pm
Να υπολογιστούν οι γωνίες τριγώνου από τις σχέσεις:

$\displaystyle\frac{b}{c}=2+\sqrt{3}\,\,\,$ και $\,\,\,\cos \displaystyle\frac{\widehat{A}}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Αφού $\cos \dfrac{A}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4} = \cos 15^\circ$ και η γωνία

είναι γωνία τριγώνου , αναγκαστικά $\boxed{A = 60^\circ }$ .

: Υπολογισμός γωνιών τριγώνου.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 1129 φορές

Επειδή ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ είναι σταθερός το τρίγωνο είναι όμοιο προς τον εαυτό του .
Κατασκευή

Σε κύκλο φέρνω τη μεσοκάθετη σε ακτίνα OS = R

και τέμνει τον κύκλο στα B,C

Το τμήμα,

χωρίζεται εσωτερικά από το

σε λόγο $2 + \sqrt 3$ . Η

τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

.

Επειδή $\cot 15^\circ = 2 + \sqrt 3$ , το $\vartriangle ABC$ είναι ψευδοορθογώνιο με $\boxed{B = 105^\circ }\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{C = 15^\circ }$ ,

#3

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2023 10:22 pm
Να υπολογιστούν οι γωνίες τριγώνου από τις σχέσεις:

$\displaystyle\frac{b}{c}=2+\sqrt{3}\,\,\,$ και $\,\,\,\cos \displaystyle\frac{\widehat{A}}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Αν δεν θεωρήσουμε γνωστό ότι το $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ είναι το $\cos 15 ^ο$ , οπότε $\frac {A}{4} =15 ^o$ , και άρα A=60^o

, μπορούμε να πούμε:

$\cos \dfrac {A}{2}= 2 \cos ^2 \dfrac {A}{4} -1 = 2\left ( \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right )^2-1 = ...= \dfrac {\sqrt 3} {2}$ . Άρα $\dfrac {A}{2} = 30^o$ , οπότε $\boxed {A=60^o}$

Επίσης

$2+\sqrt{3}= \dfrac{b}{c}= \dfrac {\sin B}{\sin C} = \dfrac {\sin (A+C)}{\sin C } = \dfrac {\sin (60+C)}{\sin C } = \dfrac {\sin 60 \cos C + \cos 60 \sin C}{\sin C } =$

$=\dfrac {\frac {\sqrt 3}{2} \cos C + \frac {1}{2} \sin C}{\sin C } =\dfrac {\sqrt 3}{2} \cot C + \dfrac {1}{2}$

Έπεται ότι $\tan C = ...= 2-\sqrt 3= \tan 15$ (εργαζόμαστε όπως στην πρώτη γραμμή, αν δεν γνωρίσουμε το $\tan 15 ^o$ ), οπότε $\boxed {C=15 ^o}$ . Τέλος, B=180-60-15= 105^o

.

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2023 10:22 pm
Να υπολογιστούν οι γωνίες τριγώνου από τις σχέσεις:

$\displaystyle\frac{b}{c}=2+\sqrt{3}\,\,\,$ και $\,\,\,\cos \displaystyle\frac{\widehat{A}}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Παίρνω επί της

σημείο

ώστε

Από $\displaystyle \cos \frac{A}{4} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4},$ βρίσκω $\displaystyle \cos \frac{A}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=60^\circ}$

Άρα το ABD

είναι ισόπλευρο. Εξάλλου, $\displaystyle \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = 2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 4bc \Leftrightarrow {(b - c)^2} = 2bc$

: Υπολογισμός γωνιών τριγώνου.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

Άρα, $\displaystyle DC = b - c = \sqrt {2bc}$ και $\displaystyle a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc} = \sqrt {3bc} .$ Με νόμο ημιτόνων στο BDC,

$\displaystyle \frac{{\sqrt {3bc} }}{{\sqrt {2bc} }} = \frac{{\sin 120^\circ }}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \theta = 45^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat B=105^\circ}$ και κατά συνέπεια $\boxed{\widehat C=15^\circ}$

Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

Re: Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

Re: Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

Re: Υπολογισμός γωνιών τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση