Περιστροφή

komi · #1

Εάν περιστρέψουμε το γράφημα της $\displaystyle{f(x) = {10^x}}$ κατά 90 μοίρες (κατά την φορα του ρολογιού) τότε να βρείτε την συνάρτηση που περιγραφει το νέο γράφημα.

Γιώργος Απόκης · #2

Έστω

σημείο της γραφικής της δοσμένης και M{'}(a,b)

σημείο της "στριμμένης". Ισχύει y,a>0.

Τότε $(OM)=(OM{'}) \Leftrightarrow x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$ (1)

Aπό την καθετότητα, έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{y_0}{x_0}\cdot\frac{b}{a}=-1\Leftrightarrow b=\frac{-ax_0}{y_0}}$ (2)

Aντικαθιστώντας την (2) στην (1), προκύπτει $\displaystyle{a^2+\frac{a^2x_0^2}{y_0^2}=x_0^2+y_0^2 \Leftrightarrow a^2(x_0^2+y_0^2)=y_0^2(x_0^2+y_0^2) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a^2=y_0^2} \Leftrightarrow a=y_0$ και από την (1): b=-x_0

. Άρα, $M{'}(y_0,-x_0) \equiv M{'}(10^{x_0},-x_0)$ .

Aν

η συνάρτηση που ψάχνουμε, έχουμε $x=10^{x_0}$ και g(x)=-x_0

, άρα $x=10^{-g(x)}\Leftrightarrow g(x)=-log_{10}x,x>0$

Edit: Είδα μετά ότι το Μ' μπορούμε να το βρούμε με ισότητα τριγώνων...

#3

Πάντα ένα σχήμα βοηθάει στην κατανόηση ενός... νοητικού δρώμενου.

Αναρτώ το σχήμα με τρεις διαφορετικές στροφές του γραφήματος της f (κόκκινη γραμμή)
γύρω από την αρχή των αξόνων και με γωνία:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \varphi =-90^o\\\varphi =90^o \\ \varphi =180^o \end{matrix}\right.$

Αναρτώ επίσης και το δυναμικό σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #4

Κοιτάζοντας το αποτέλεσμα βρίσκω μια λογική και πιστεύω πως θα μπορούσε να απαντηθεί και διαφορετικά αλλά δεν ξέρω τον τρόπο .
Δηλαδή βρήκαμε πως η ζητούμενη συνάρτηση ήταν η αντίθετη της αντίστροφης της αρχικής συνάρτησης, της $\displaystyle{g(x)=\log x }$ .
Από την μία έχουμε την συμμετρία ως προς την ευθεία $\displaystyle{y=x}$ (των $\displaystyle{10^x}$ και $\displaystyle{\log x}$ ),
από την άλλη έχουμε την συμμετρία ως προς τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ (των $\displaystyle{\log x}$ και $\displaystyle{-\log x}$ ).
Δεν νομίζω να είναι τυχαίο το αποτέλεσμα, έχουμε καμία ιδέα;

#5

parmenides51 έγραψε:Κοιτάζοντας το αποτέλεσμα βρίσκω μια λογική και πιστεύω πως θα μπορούσε να απαντηθεί και διαφορετικά αλλά δεν ξέρω τον τρόπο .
Δηλαδή βρήκαμε πως η ζητούμενη συνάρτηση ήταν η αντίθετη της αντίστροφης της αρχικής συνάρτησης, της $\displaystyle{g(x)=\log x }$ .
Από την μία έχουμε την συμμετρία ως προς την ευθεία $\displaystyle{y=x}$ (των $\displaystyle{10^x}$ και $\displaystyle{\log x}$ ),
από την άλλη έχουμε την συμμετρία ως προς τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ (των $\displaystyle{\log x}$ και $\displaystyle{-\log x}$ ).
Δεν νομίζω να είναι τυχαίο το αποτέλεσμα, έχουμε καμία ιδέα;

Πράγματι η στροφή κατά 90^0

και κατά την φορά του ρολογιού μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση ανάκλασης περί την διαγώνιο και ανάκλασης περί τον οριζόντιο άξονα, καθώς αυτοί οι άξονες ανάκλασης σχηματίζουν γωνία 45^0

: πρόκειται για ειδική περίπτωση γνωστού θεωρήματος που εξηγείται στο πρώτο σχήμα της Σύνθεσης Στροφών.

Γιώργος Μπαλόγλου

parmenides51 · #6

ευχαριστώ, κάποιες φορές αρκεί να ρωτήσεις το κατάλληλο άτομο για να πάρεις τις απαντήσεις που θες

#7

parmenides51 έγραψε:ευχαριστώ, κάποιες φορές αρκεί να ρωτήσεις το κατάλληλο άτομο για να πάρεις τις απαντήσεις που θες

Μεγάλη αλήθεια

[Εννοείται ότι η ανάλυση στροφής σε δύο ανακλάσεις προσφέρεται για διδασκαλία, ακόμη και στο Γυμνάσιο (τόσο σε επίπεδο απόδειξης όσο και σε επίπεδο πειραματικής επαλήθευσης*).]

*ένα παράδειγμα της οποίας έχουμε σ' αυτό ακριβώς το νήμα!

Γιώργος Μπαλόγλου

Περιστροφή

Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Re: Περιστροφή

Μέλη σε σύνδεση