Σταθερο Πολυωνυμο

Συντονιστής: exdx

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 21 δημοσιεύσεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ: Δημοσιεύσεις: 3600; Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am; Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σταθερο Πολυωνυμο

Παράθεση

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 01, 2021 11:20 am

papel έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 11, 2009 12:46 pm
Να δείξετε οτι εάν για κάθε x το πολυώνυμο G(x) ικανοποιει την σχεση :

$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

τοτε το πολυωνυμο αυτο ειναι σταθερο.

(Δυσκολη και θα ηθελα να δω πως θα την αντιμετωπιζαν οι συναδελφοι οχι τοσο την λυση
αλλα το σκεπτικο πως να κινηθουμε)

Διορθωση στην εκφωνηση αντι του καθε μετα απο υποδειξεις

Γράφω λύση πάνω στην ιδέα του Ροδόλφου.
Εχουμε
$\displaystyle{\displaystyle G(2{x^2} - 1) = \frac{{{{\left[ {G(x)} \right]}^2}}}{2} - 1}$

Θέτοντας $x=\cos y$ και $f(y)=G(\cos y)$
γίνεται
2f(2y)+2=(f(y))^2

(1)

Το

είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο.
Εδω συγκεκριμένα είναι
$\displaystyle f(y)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_k \cos ky$

Να σημειώσω ότι η (1) ισχύει για όλα τα $y\in \mathbb{R}$
Αυτό οφείλεται στο ότι κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο,δηλαδή μια παράσταση
της μορφής

$\displaystyle f(y)=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}a_k \cos ky+b_k\sin ky,|a_n|+|b_n|\neq 0$
έχει στο $[0,2\pi ]$ το πολύ