Περιοδική συνάρτηση.

#1

Ορισμός

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική , όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε
για κάθε χ στο Α, να ισχύει:

1) $\displaystyle{\displaystyle x + T \in A,x - T \in A }$

2) f ( x-T )= f ( x+T ) = f(x).

O πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.

( Eίναι ο ορισμός της περιοδικής συνάρτησης απο το σχολικό βιβλίο άλγεβρας Β'Λυκείου Γενικής παιδείας.)

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω f : R -> R συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{\displaystyle f(x) = \cos (x^2 ) }$ .
Nα αποδείξετε πως η f δεν είναι περιοδική.

hsiodos · #2

Καλησπέρα

Έστω ότι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ> 0
Άρα για κάθε $x\in R$ θα ισχύει $cos(x+T)^2=cosx^2\,\,\,(1)$
Από την (1) αν χ=0 προκύπτει cosT^2=1

άρα υπάρχει ακέραιος κ , ώστε $T^2=2\kappa \pi$ (κ > 0) δηλαδή $T=\sqrt{2\kappa \pi }$
Αντικαθιστούμε τώρα στην (1) και παίρνουμε
για κάθε $x\in R$ θα ισχύει $cos(x+\sqrt{2\kappa \pi })^2=cosx^2\,\,\,(2)$
Αν θέσουμε τώρα στην (2) $x=\sqrt{\kappa \pi }$ παίρνουμε
$cos(\sqrt{\kappa \pi }+\sqrt{2\kappa \pi } )^2=cos(\sqrt{\kappa \pi })^2$
ή $cos(3\kappa \pi +2\sqrt{2}\kappa \pi )=cos(\kappa \pi )$
Συνεπώς υπάρχει ακέραιος λ ώστε:
$3\kappa \pi +2\sqrt{2}\kappa \pi =2\lambda \pi +\kappa \pi$ (3) ή $3\kappa \pi +2\sqrt{2}\kappa \pi =2\lambda \pi -\kappa \pi$ (4)

Από την (3) προκύπτει $\sqrt{2}=\frac{\lambda -\kappa }{\kappa }$ ,άτοπο(άρρητος=ρητός)
Από την (4) προκύπτει $\sqrt{2}=\frac{\lambda -2\kappa }{\kappa }$ άτοπο(άρρητος=ρητός)
Συνεπώς η f δεν είναι περιοδική

Γιώργος

#3

chris_gatos έγραψε:
Έστω f : R -> R συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{\displaystyle f(x) = \cos (x^2 ) }$ .
Nα αποδείξετε πως η f δεν είναι περιοδική.

Πολύ ωραία η παραπάνω λύση του Γιώργου. Δίνω άλλη μία.

Αν Τ η περίοδος θα είχαμε για κάθε x την ισότητα cos (x^2 ) = cos ((x+T)^2)

.
Άρα υπάρχει $k \in Z$ (που εξαρτάται από το x) και κατάλληλο κάθε φορά πρόσημο + ή - με $(x+T)^2 \pm x^2 = 2k\pi$ . Αλλά τότε
$\frac {(x+T)^2 \pm x^2}{2\pi} \in Z$ . Αυτό όμως είναι άτοπο διότι οι
$\frac {(x+T)^2 + x^2}{2\pi}$ , $\frac {(x+T)^2 - x^2}{2\pi}$ ως συνεχείς συναρτήσεις παίρνουν "όλες τις ενδιάμεσες τιμές": Από αυτό εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει κοινό διάστημα τιμών του x που ούτε η μία ούτε η άλλη δεν έχουν ακέραια τιμή.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#4

Η παραπάνω λύση γενικεύεται και στο να δείξει κανείς ότι δεν είναι περιοδικές
οι cos(x^3), cos(x^2 - 5x +7)

και άλλες παρόμοιες.

Μου γεννάται λοιπόν η απορία: Για ποιές συνεχείς g: R ---> R είναι περιοδική η
cosg(x) ;

Δεν ξέρω την απάντηση αλλά νομίζω ότι δεν θα είναι δύσκολο, με την παραπάνω τεχνική, να δείξει κανείς ότι έχουμε περιοδικότητα αν και μόνον αν g(x) = Ax + B.

Για την περίπτωση όπου g πολυωνυμική, νομίζω ότι είναι φανερό.

Τι λέτε;

Τρέχω για διαγώνισμα οπότε δεν μπορώ να το δω τώρα αμέσως. Θα το σκεφτώ όμως κάνοντας επιτήρηση (αν μ' αφήσουν ...).

Φιλικά,

Μιχάλης.

#5

Καλησπέρα...Eγω απλά σκέφτηκα π.χ και την , cos(sinx)...Mήπως είναι πιο δύσκολο απ'ότι φαντάζει;;

dement · #6

Καλημερα. Ας κανω μια αποπειρα στο ερωτημα του κ. Λαμπρου...

Εστω η $\cos \circ g$ περιοδικη με περιοδο $\tau$ . Τοτε, για καθε $x \in \mathbb{R}$ , εχουμε $g(x + \tau) = g(x) + 2k \pi$ η $g(x + \tau) = - g(x) + 2k \pi$ με $k \in \mathbb{Z}$ .

Για να το απλουστευσουμε, εστω οτι θελουμε να ισχυει μονο η πρωτη συνθηκη (ας πουμε, π.χ., οτι θελουμε να ειναι περιοδικη και η $\sin \circ g$ ). Τοτε, αφου η $\frac{g(x + \tau) - g(x)}{2 \pi}$ ειναι συνεχης και παιρνει ακεραιες τιμες, ειναι σταθερη. Απο αυτο επεται οτι η

πρεπει να ειναι τετοια ωστε η $G(x) = g(x) - \frac{2 k \pi x}{\tau}$ να ειναι περιοδικη με περιοδο $\tau$ για καποιον ακεραιο

.

Απο αυτο και μονο φαινεται οτι υπαρχει μια αρκετα μεγαλη γκαμα συναρτησεων

και οχι μονο οι γραμμικες. Αν τωρα επιτρεψουμε και τη δευτερη συνθηκη, τα πραγματα μπερδευονται ακομα περισσοτερο γιατι δεν εμποδιζει τιποτα την

να υπακουει αλλου την πρωτη και αλλου τη δευτερη συνθηκη, 'πηδωντας' απο τη μια ακεραια τιμη του

στην αλλη. Τι λετε οι υπολοιποι;

Δημητρης Σκουτερης

#7

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα...Eγω απλά σκέφτηκα π.χ και την , cos(sinx)...Mήπως είναι πιο δύσκολο απ'ότι φαντάζει;;

'Εχεις δίκιο. Γενικά αν g περιοδική τότε cos(g(x)) περιοδική. Μήπως ισχύει και το αντίστροφό; (Για g συνεχή)

dement · #8

Οχι, το αντιστροφο δεν ισχυει (π.χ. g(x) = x

).

Δημητρης Σκουτερης

#9

dement έγραψε:Οχι, το αντιστροφο δεν ισχυει (π.χ. ).

Δημητρης Σκουτερης

Ασφαλώς έχεις δίκιο. Μπήκα να το διαγράψω αλλά με πρόλαβες.

#10

dement έγραψε: του κ. Λαμπρου...

Δημήτρη, περιττεύει το "κ."
Αν είμασταν κοντά, θα πίναμε ένα κρασί.

dement έγραψε: Απο αυτο επεται οτι η πρεπει να ειναι τετοια ωστε η $G(x) = g(x) - \frac{2 k \pi x}{\tau}$ να ειναι περιοδικη με περιοδο $\tau$ για καποιον ακεραιο .

Σωστά. Για να συνοψίσουμε, όπως έδειξε ο Δημήτρης, μία ικανή συνθήκη είναι:

Έστω G περιοδική συνάρτηση με περίοδο τ και έστω k ακέραιος. Τότε η
cos(G(x) + 2kπx/τ) είναι περιοδική με περίοδο τ.
(Δηλαδή μπορούμε να πάρουμε g(x) = G(x) + 2kπx/τ)

dement έγραψε: Αν τωρα επιτρεψουμε και τη δευτερη συνθηκη, τα πραγματα μπερδευονται ακομα περισσοτερο γιατι δεν εμποδιζει τιποτα την να υπακουει αλλου την πρωτη και αλλου τη δευτερη συνθηκη, 'πηδωντας' απο τη μια ακεραια τιμη του στην αλλη.

Ακριβώς. Γι αυτό ήμουν προσεκτικός στο αρχικό μήνυμα (στην λύση μου της μη περιοδικότητας της cos(x^2)

) να γράψω ότι το k και το πρόσημο + ή - εξαρτώνται από το x.

Συμπέρασμα: Φαίνεται ότι το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#11

Mihalis_Lambrou έγραψε:
dement έγραψε: Αν τωρα επιτρεψουμε και τη δευτερη συνθηκη, τα πραγματα μπερδευονται ακομα περισσοτερο γιατι δεν εμποδιζει τιποτα την να υπακουει αλλου την πρωτη και αλλου τη δευτερη συνθηκη, 'πηδωντας' απο τη μια ακεραια τιμη του στην αλλη.
Ακριβώς. Γι αυτό ήμουν προσεκτικός στο αρχικό μήνυμα (στην λύση μου της μη περιοδικότητας της ) να γράψω ότι το k και το πρόσημο + ή - εξαρτώνται από το x.

Συμπέρασμα: Φαίνεται ότι το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον.

Τελικά υπάρχουν και πιο περίεργες συνεχείς συναρτήσεις οι οποίες πηδάνε από + σε -. Θα περιγράψω μια τέτοια πάρακάτω

Στο [0,1] η g θα παίρνει την τιμή $2 \pi n_0$ , για κάποιο ακέραιο n_0

Στο [2,3] η g θα παίρνει την τιμή $2 \pi n_2$ , για κάποιο ακέραιο n_2

Στο [-2,-1] η g θα παίρνει την τιμή $2 \pi n_{-2}$ , για κάποιο ακέραιο $n_{-2}$
κτλ
Πιο συγκεκριμένα στο [2κ,2κ+1] η g θα παίρνει την τιμή $2 \pi n_{2k}$ , για κάποιο ακέραιο $n_{2k}$

Στα [-1,0],[1,2] κτλ η g θα είναι γραμμική.

Σίγουρα η g είναι συνεχής και έχω ελεύθερη επιλογή για να διαλέξω τα $\ldots, n_{-2},n_0,n_2,\ldots$ .

Νέος περιορισμός: Για κάθε κ, θα ισχύει $|n_{2k+2} - n_{2k}| = 1$

Για αυτή την συνάρτηση g, η cos(g(x))

είναι περιοδική με περίοδο 2. Πράγματι αν $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k,2k+1]$ τότε έχουμε $g(x+2) - g(x) = 2\pi$ Αν $x \in [2k+1,2k+2]$ με $n_{2k+2} - n_{2k} = n_{2k+4} - n_{2k+2}$ τότε έχουμε $g(x+2) - g(x) = 2\pi$ και αν $x \in [2k+1,2k+2]$ με $n_{2k+2} - n_{2k} \neq n_{2k+4} - n_{2k+2}$ τότε έχουμε $g(x+2) + g(x) = g(2k+1) +g(2k+3) = 2\pi(n_{2k} + n_{2k+2})$ .

(Κάντε ένα σχήμα.)

Μένει να δείξω πως μπορώ να διαλέξω τα $n_{2k}$ ώστε η g να μην είναι της μορφής που περιγράφει ο Δημήτρης (dement). Ένας τρόπος είναι να τα διαλέξω ως εξής $\ldots 0,1,0,1 0,1,2,1,0,-1,0,1,2,3,\ldots$

όπου στα αριστερά συνεχίζει περιοδικά και στα δεξία (εκεί όπου η g και δεν είναι της μορφής που περιγράφει ο Δημήτρης) ανεβαίνει 2 βήματα, καταβαίνει 3, ανεβαίνει 4, κτλ.

Περιοδική συνάρτηση.

Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Re: Περιοδική συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση