Άρρητη εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Άρρητη εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 20, 2012 2:47 pm

Μια δική μου κατασκευή.
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {2x}  = 2\sqrt {x + 1}.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Άρρητη εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Τρί Νοέμ 20, 2012 3:03 pm

Καταρχάς πρέπει \displaystyle{ x \geq 0 }.

Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας ότι \displaystyle{ 2(a^2+ b^2) \geq (a+b)^2 } λαμβάνουμε:

\displaystyle{ 4(x+1) = (\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{2x})^2 \leq 2(x+1)^2  \Rightarrow x \geq 1 }.

Επίσης ισχύει \displaystyle{ 2\sqrt{x+1} - \sqrt{2x} = \sqrt{x^2+1} \geq \sqrt{2x}  \Rightarrow \sqrt{x+1} \geq \sqrt{2x} \Rightarrow x\leq 1}.

Συνεπώς \displaystyle{ \boxed{x = 1} } (δεκτή λύση).


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 20, 2012 3:25 pm

:clap2: :10sta10: Πολύ όμορφη λύση. Πιο γρήγορη ίσως από αυτή που σκέφτηκα και πολύ συνοπτικά γραμμένη.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6910
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Άρρητη εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Νοέμ 20, 2012 3:37 pm

Μία λύση παρατήρησης..
Πρέπει και αρκεί: x\ge 0
Παρατηρώ πως όταν x=1 επαληθεύεται επομένως αποτελεί λύση.
Αν x>1 τότε: x^2>x \Rightarrow \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x+1} και επιπλέον 2x>x+1\Rightarrow \sqrt{2x}>\sqrt{x+1}.
Mε πρόσθεση κατα μέλη βλέπουμε πως δε μπορεί να ικανοποιηθεί η εξίσωση για κάποιο x>1.

Παρόμοια, αν 0\le x <1 τότε x^2<x δηλαδή και \sqrt{x^2+1}<\sqrt{x+1} αλλά και 2x<x+1\Rightarrow \sqrt{2x}<\sqrt{x+1}.

Πάλι με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε αδύνατη την εξίσωση των μελών.
Επομένως μοναδική λύση η x=1


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 20, 2012 3:47 pm

chris_gatos έγραψε:Μία λύση παρατήρησης..
Πρέπει και αρκεί: x\ge 0
Παρατηρώ πως όταν x=1 επαληθεύεται επομένως αποτελεί λύση.
Αν x>1 τότε: x^2>x \Rightarrow \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x+1} και επιπλέον 2x>x+1\Rightarrow \sqrt{2x}>\sqrt{x+1}.
Mε πρόσθεση κατα μέλη βλέπουμε πως δε μπορεί να ικανοποιηθεί η εξίσωση για κάποιο x>1.

Παρόμοια, αν 0\le x <1 τότε x^2<x δηλαδή και \sqrt{x^2+1}<\sqrt{x+1} αλλά και 2x<x+1\Rightarrow \sqrt{2x}<\sqrt{x+1}.

Πάλι με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε αδύνατη την εξίσωση των μελών.
Επομένως μοναδική λύση η x=1
Αυτή είναι και η δική μου λύση.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5589
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Νοέμ 20, 2012 4:34 pm

Επειδή οι ασκήσεις του Βασίλη είναι τουλάχιστον πανέξυπνες, ας δούμε και την ημέτερη άποψη.

Παρατηρούμε ότι: x \geqslant 0.\quad \sqrt {x^2  + 1}  - \sqrt {x + 1}  = \sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x}  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{x} 
{{\sqrt {x^2  + 1}  + \sqrt {x + 1} }} + \frac{1} 
{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Νοέμ 20, 2012 6:48 pm

S.E.Louridas έγραψε:Επειδή οι ασκήσεις του Βασίλη είναι τουλάχιστον πανέξυπνες, ας δούμε και την ημέτερη άποψη.

Παρατηρούμε ότι: x \geqslant 0.\quad \sqrt {x^2  + 1}  - \sqrt {x + 1}  = \sqrt {x + 1}  - \sqrt {2x}  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{x} 
{{\sqrt {x^2  + 1}  + \sqrt {x + 1} }} + \frac{1} 
{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {2x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.
Ωραία βελτοστοποίηση της λύσης. :coolspeak:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης