Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Αν

πραγματικοί αριθμοί , να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+5zx+3yz=0\\ y+5zy+3xz=0\\ 5x^2+6xy+5y^2=8 \end{matrix} \right\}}$

Ιστοσελίδα · #2

Προσθέτουμε τους δύο πρώτες εξισώσεις:
$x+y+8yz+8zx=0 \Leftrightarrow (x+y)+8z(x+y)=0 \Leftrightarrow (x+y)(1+8z)=0 \Leftrightarrow$

x+y=0

ή $1+8z=0 \Leftrightarrow y=-x$ ή $z=-\dfrac{1}{8} .$

$\bullet$ Αν $z=-\dfrac{1}{8}$ αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε:

$x-\dfrac{5x}{8}-\dfrac{3y}{8}=0 \Leftrightarrow 3x-3y=0 \Leftrightarrow x=y .$

Από την τρίτη εξίσωση έχουμε: $16x^2=8 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Δηλαδή $x=y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} .$

$\bullet$ Αν y=-x

αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση παίρνουμε:

$5x^2-6x^2+5x^2=8 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2} .$

Από την πρώτη εξίσωση για: $x=\sqrt{2} , y=-\sqrt{2}$ παίρνουμε $z=-\dfrac{1}{2}$

ενώ για $x=-\sqrt{2} , y=\sqrt{2}$ παίρνουμε πάλι $z=-\dfrac{1}{2} .$

Τελικά $(x,y,z)\in\{ \; \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{8}\right) \; , \; \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{8}\right) \; , \; \left(\sqrt{2},-\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right) \; , \; \left(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right) \} .$

Γιώργος Απόκης · #3

Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με $\displaystyle{x}$ και τη 2η με $\displaystyle{y}$ και έχουμε : $\displaystyle{x^2+5zx^2+3xyz=0,~y^2+5zy^2+3xyz=0}$ .

Aφαιρούμε κατά μέλη : $\displaystyle{x^2-y^2+5z(x^2-y^2)=0\Leftrightarrow (x^2-y^2)(1+5z)=0\Leftrightarrow x=y~\acute{\eta}~x=-y~\acute{\eta}~z=-\frac{1}{5}}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=y}$ στην 3η εξίσωση : $\displaystyle{5x^2+6x^2+5x^2=8\Leftrightarrow 16x^2=8\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}}$ και στην 1η:

$\displaystyle{x+5zx+3zx=0\overset{x \ne 0}\Leftrightarrow z=-\frac{1}{8}}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=-y}$ στην 3η εξίσωση : $\displaystyle{5x^2-6x^2+5x^2=8\Leftrightarrow 4x^2=8\Leftrightarrow x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}}$ και στην 1η:

$\displaystyle{x+5zx-3zx=0\overset{x \ne 0}\Leftrightarrow z=-\frac{1}{2}}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{z=-\frac{1}{5}}$ στην 1η και τη 2η εξίσωση : $\displaystyle{y=0,x=0}$ που δεν επαληθεύουν την 3η.

Τελικά, $\displaystyle{(x,y,z)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{8}\right)~\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{8}\right)~\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(\sqrt{2},-\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right)}$

$\displaystyle{\acute{\eta}~(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\frac{1}{2}\right)}$

Edit: Στην πορεία είδα τη λύση του Στράτη, αφήνω αφού είναι διαφορετική η επίλυση

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

Στρατή - Γιώργο ευχαριστώ για τις λύσεις σας.
Όταν πρωτοέλυσα το σύστημα το έλυσα με άλλον τρόπο , διαφορετικό απο
αυτούς που παρουσιάσατε. Μετά ο 2ος τρόπος που μου ήρθε ήταν του Στρατή.

#5

Καλησπέρα σε όλους

Λίγο διαφορετικά από το Γιώργο

Γιώργος Απόκης έγραψε:Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με $\displaystyle{x}$ και τη 2η με $\displaystyle{y}$

να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη με

τη δεύτερη με

και να πάρουμε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} xy+5xyz+3y^2z=0\\ xy+5xyz+3x^2z=0 \end{matrix} \right\}}$ ,αφαιρώντας έχουμε $y=\pm x$

Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Re: Σύστημα 3 εξισώσεις - 3 άγνωστοι

Μέλη σε σύνδεση