Σύστημα 3x3

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Σύστημα 3x3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τρί Νοέμ 19, 2013 1:47 pm

Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle{\left\{ \begin{array}{c} 
{x^2} + xy + {y^2} = 37\\ 
{y^2} + yz + {z^2} = 19\\ 
{z^2} + zx + {x^2} = 28 
\end{array} \right.}


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα 3x3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 20, 2013 9:46 pm

apotin έγραψε:Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle{\left\{ \begin{array}{c} 
{x^2} + xy + {y^2} = 37\\ 
{y^2} + yz + {z^2} = 19\\ 
{z^2} + zx + {x^2} = 28 
\end{array} \right.}
Μήπως (προσωπική γνώμη είναι και τίποτα παραπάνω) είναι κομματάκι δύσκολο για το φάκελο της Β' Λυκείου;

Είναι προφανές πως αποκλείεται x=y=z.

Tο σύστημα ισοδύναμα γίνεται:

\displaystyle{\begin{array}{l} 
{x^3} - {y^3} = 37(x - y)\\ 
{y^3} - {z^3} = 19(y - z)\\ 
{z^3} - {x^3} = 28(z - x) 
\end{array}}

Με πρόσθεση κατά μέλη έχω:

37x-37y+19y-19z+28z-28x=0 \Rightarrow 9x-18y+9z=0 \Rightarrow y= \frac{x+z}{2}

Αντικαθιστώντας στις δύο πρώτες και με πρόσθεση κατά μέλη, έχω, μετά από πράξεις:

\displaystyle{2{x^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

Τώρα η τρίτη αν πολλαπλασιαστούν και τα δύο μέλη της επί δύο γίνεται:

\displaystyle{{x^2} + {z^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

επομένως από τις δύο τελευταίες προκύπτει: x^2=z^2 \Rightarrow x=-z.

Τότε όμως είναι y=0.

Άρα από τις εξισώσεις του συστημάτος παρατηρώ πως δεν υπάρχει λύση.

:roll:


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύστημα 3x3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 20, 2013 9:56 pm

chris_gatos έγραψε:
apotin έγραψε:Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle{\left\{ \begin{array}{c} 
{x^2} + xy + {y^2} = 37\\ 
{y^2} + yz + {z^2} = 19\\ 
{z^2} + zx + {x^2} = 28 
\end{array} \right.}
Μήπως (προσωπική γνώμη είναι και τίποτα παραπάνω) είναι κομματάκι δύσκολο για το φάκελο της Β' Λυκείου;

Είναι προφανές πως αποκλείεται x=y=z.

Tο σύστημα ισοδύναμα γίνεται:

\displaystyle{\begin{array}{l} 
{x^3} - {y^3} = 37(x - y)\\ 
{y^3} - {z^3} = 19(y - z)\\ 
{z^3} - {x^3} = 28(z - x) 
\end{array}}

Με πρόσθεση κατά μέλη έχω:

37x-37y+19y-19z+28z-28x=0 \Rightarrow 9x-18y+9z=0 \Rightarrow y= \frac{x+z}{2}

Αντικαθιστώντας στις δύο πρώτες και με πρόσθεση κατά μέλη, έχω, μετά από πράξεις:

\displaystyle{2{x^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

Τώρα η τρίτη αν πολλαπλασιαστούν και τα δύο μέλη της επί δύο γίνεται:

\displaystyle{{x^2} + {z^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

επομένως από τις δύο τελευταίες προκύπτει: x^2=z^2 \Rightarrow x=-z.

Τότε όμως είναι y=0.

Άρα από τις εξισώσεις του συστημάτος παρατηρώ πως δεν υπάρχει λύση.

:roll:

Λύση υπάρχει και είναι \displaystyle{x = 4,y = 3,z = 2} ή \displaystyle{x =  - 4,y =  - 3,z =  - 2}, αλλά δεν ξέρω πώς βγαίνει.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα 3x3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 20, 2013 10:05 pm

george visvikis έγραψε:
chris_gatos έγραψε:
apotin έγραψε:Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle{\left\{ \begin{array}{c} 
{x^2} + xy + {y^2} = 37\\ 
{y^2} + yz + {z^2} = 19\\ 
{z^2} + zx + {x^2} = 28 
\end{array} \right.}
Μήπως (προσωπική γνώμη είναι και τίποτα παραπάνω) είναι κομματάκι δύσκολο για το φάκελο της Β' Λυκείου;

Είναι προφανές πως αποκλείεται x=y=z.

Tο σύστημα ισοδύναμα γίνεται:

\displaystyle{\begin{array}{l} 
{x^3} - {y^3} = 37(x - y)\\ 
{y^3} - {z^3} = 19(y - z)\\ 
{z^3} - {x^3} = 28(z - x) 
\end{array}}

Με πρόσθεση κατά μέλη έχω:

37x-37y+19y-19z+28z-28x=0 \Rightarrow 9x-18y+9z=0 \Rightarrow y= \frac{x+z}{2}

Αντικαθιστώντας στις δύο πρώτες και με πρόσθεση κατά μέλη, έχω, μετά από πράξεις:

\displaystyle{\color{red}2{x^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

Τώρα η τρίτη αν πολλαπλασιαστούν και τα δύο μέλη της επί δύο γίνεται:

\displaystyle{{x^2} + {z^2} + {\left( {x + z} \right)^2} = 56}

επομένως από τις δύο τελευταίες προκύπτει: x^2=z^2 \Rightarrow x=-z.

Τότε όμως είναι y=0.

Άρα από τις εξισώσεις του συστημάτος παρατηρώ πως δεν υπάρχει λύση.

:roll:

Λύση υπάρχει και είναι \displaystyle{x = 4,y = 3,z = 2} ή \displaystyle{x =  - 4,y =  - 3,z =  - 2}, αλλά δεν ξέρω πώς βγαίνει.
Έχετε δίκιο ξέχασα κατά τη μεταφορά στο χαρτί να προσθέσω και το z^2. Αυτό με οδήγησε σε πλάνη!

Πάντως η γνώμη μου για τη δυσκολία και την τοποθέτηση στον φάκελο δεν αλλάζει.

Ευχαριστώ.


Χρήστος Κυριαζής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1964
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Σύστημα 3x3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Νοέμ 20, 2013 10:31 pm

Το mathematica δίνει λύσεις και τις
x=-\frac{10}{\sqrt{3}},y=-\frac{1}{\sqrt{3}},z=\frac{8}{\sqrt{3}}
και
x=\frac{10}{\sqrt{3}},y=\frac{1}{\sqrt{3}},z=-\frac{8}{\sqrt{3}}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1964
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Σύστημα 3x3

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Νοέμ 20, 2013 11:08 pm

Λοιπόν έχουμε από την σχέση x+z=2y    (1) \Leftrightarrow x-y=y-z
\begin{cases} 
(x-y)^2=37-xy   \\  
(y-z)^2=19-3yz   \\  
(z-x)^2=28-3xz   
\end{cases} \Leftrightarrow 37-3xy=19-3yz \Leftrightarrow x-z=\frac{6}{y}    (2)
Από (1) , (2) έχουμε ότι x=\frac{3}{y}+y (3)
Αντικαθιστώντας στην πρώτη από τις αρχικές προκύπτει η εξίσωση
3y^2+\frac{9}{y^2}= 28 \Leftrightarrow y=\pm 3 , y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}

τα υπόλοιπα είναι εύκολα


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Σύστημα 3x3

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Πέμ Νοέμ 21, 2013 12:15 am

Καλημέρα mathematica.
Ο μαθητής θα μπορούσε να προσεγγίσει και λίγο διαφορετικά την άσκηση ως εξής:
37+19=2*28 (σταθεροί όροι του συστήματος) άρα
x^2+xy+y^2+y^2+yz+z^2=2(z^2+zx+x^2) (Έγινε διόρθωση )και μετά τις πράξεις θα έχει:
(x+y+z)(z-2y+x)=0
Η περίπτωση x+y+z=0 απορρίπτεται αφού αν αντικαταστήσει x=-(y+z) στην x^2+xy+y^2=37 θα καταλήξει στην y^2+yz+z^2=37 που έρχεται σε σύγκρουση με τα δεδομένα της άσκησης οπότε ισχύει τελικά ότι z-2y+x=0 και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο του xr.tsif.


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σύστημα 3x3

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 11:11 am

apotin έγραψε:Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle{\left\{ \begin{array}{c} 
{x^2} + xy + {y^2} = 37\;\;(1)\\ 
{y^2} + yz + {z^2} = 19\;\;(2)\\ 
{z^2} + zx + {x^2} = 28\;\;(3) 
\end{array} \right.}
Άλλος τόπος:

(1)-(2)\Rightarrow x^2-z^2+xy-yz=-18\iff (x-z)(x+y+z)=18\;\;(4)

(2)-(3)\Rightarrow y^2-x^2+yz-zx=9\iff (y-x)(x+y+z)=-9\;\;(5)

(4):(5)\Rightarrow \dfrac{x-z}{y-x}=-2\iff z=2y-x (είναι x+y+z\neq 0 και y-x\neq 0 αφού έχουν γινόμενο -9).

Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε (2y-x)^2+x(2y-x)+x^2=28\iff 4y^2-2xy+x^2=28\;\;(6)

(1)\Rightarrow 2y^2+2xy+2y^2=74 και προσθέτοντας με την (6) έχουμε 6y^2+3x^2=102\iff 2y^2+x^2=34.

Έτσι έχουμε το σύστημα \begin{cases}x^2+xy+y^2=37\\x^2+2y^2=34\end{cases}.

Αφαιρώντας έχουμε xy-y^2=3\iff x=\dfrac{y^2+3}{y} (αν y=0 είναι αδύνατη).

Άρα \left(\dfrac{y^2+3}{y}\right)^2+2y^2=34\iff 3y^4-28y^2+9=0\iff y=\pm 3 ή y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Για y=3 έχουμε x=\dfrac{3^2+3}{3}=4 και z=2\cdot 3-4=2.

Για y=-3 έχουμε x=\dfrac{(-3)^2+3}{-3}=-4 και z=2\cdot(-3)-(-4)=-2.

Για y=\dfrac{\sqrt{3}}{3} έχουμε x=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} και z=2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{10\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.

Για y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} έχουμε x=\dfrac{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+3}{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=-\dfrac{10\sqrt{3}}{3} και z=2\cdot\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)-\left(-\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.

Άρα (x,y,z)=(4,3,2) ή (-4,-3,-2) ή \left(\dfrac{10\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right) ή \left(-\dfrac{10\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right)


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Σύστημα 3x3

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Πέμ Νοέμ 21, 2013 1:29 pm

Η λύση μου είναι παρόμοια με του Κώστα με τη διαφορά ότι το ομογενές σύστημα

\begin{cases}x^2+xy+y^2=37\\x^2+2y^2=34\end{cases}

το λύνω κάνοντας την αντικατάσταση \displaystyle{x = ay} οπότε έχουμε το σύστημα

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
{y^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) = 37\;\\ 
{y^2}\left( {{a^2} + 2} \right) = 34\;\;\;\;\left( * \right) 
\end{array} \right.}

από το οποίο παίρνουμε

\displaystyle{\frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} + 2}} = \frac{{37}}{{34}} \Leftrightarrow 3{a^2} - 34a + 40 = 0 \Leftrightarrow a = 10\;\; \vee a = \frac{4}{3}}

Έτσι έχουμε:
\displaystyle{a = 10:\;\left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}} οπότε \displaystyle{x =  \pm \frac{{10\sqrt 3 }}{3}} και \displaystyle{z =  \mp \frac{{8\sqrt 3 }}{3}}
και
\displaystyle{a = \frac{4}{3}:\;\left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Leftrightarrow y =  \pm 3} οπότε \displaystyle{x =  \pm 4} και \displaystyle{z =  \pm 2}

Όσον αφορά την επιλογή του φακέλου ας φροντίσουν οι υπεύθυνοι συντονιστές τη μετακίνησή της στον αρμόζοντα φάκελο, δεν έχω καμιά αντίρρηση.


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα 3x3

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 1:45 pm

apotin έγραψε: Όσον αφορά την επιλογή του φακέλου ας φροντίσουν οι υπεύθυνοι συντονιστές τη μετακίνησή της στον αρμόζοντα φάκελο, δεν έχω καμιά αντίρρηση.
Αφού απαντήθηκε τελικά το ερώτημά μου θα ήθελα να απαντηθεί κι ένα επιπλέον.
Αφού ο άνθρωπος που λύνει το θέμα με την αντικατάσταση που αντιστοιχεί σε ομογενείς γενικά εξισώσεις
θα ήθελα να μας πει που αναφέρονται όλα αυτά στα σχολικά βιβλία μέχρι και τη Β'Λυκείου.
Αν δεν αναφέρονται τι ήταν αυτό που τον ώθησε να το βάλει στη Β' Λυκείου και δεν αναφέρθηκε αρχικά στην εκφώνηση.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Σύστημα 3x3

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Πέμ Νοέμ 21, 2013 2:31 pm

Επειδή τυγχάνει να έχω τα βιβλία των μαθηματικών της α' και β' λυκείου των δικών μου σχολικών ετών (Αναφέρομαι για χρονολογίες 2002-2004) θα τοποθετηθώ. Διαπίστωσα ότι συστήματα εξισώσεων διδάσκονταν στην α' λυκείου οπότε σίγουρα είναι γνωστά για τους μαθητές της β' λυκείου.(πηγή- βιβλίο άλγεβρας α' λυκείου των Σ. Ανδρεαδάκη , Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη , Γ. Πολύζο, Α. Σβερκό). Δεν νομίζω ότι τίθεται θέμα ικανότητας επίλυσης από μαθητές β΄ λυκείου παρά μόνο τοποθετήσεως στον προβλεπόμενο φάκελο.
Φιλικά,
Δημήτρης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα 3x3

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 2:37 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Επειδή τυγχάνει να έχω τα βιβλία των μαθηματικών της α' και β' λυκείου των δικών μου σχολικών ετών (Αναφέρομαι για χρονολογίες 2002-2004) θα τοποθετηθώ. Διαπίστωσα ότι συστήματα εξισώσεων διδάσκονταν στην α' λυκείου οπότε σίγουρα είναι γνωστά για τους μαθητές της β' λυκείου.(πηγή- βιβλίο άλγεβρας α' λυκείου των Σ. Ανδρεαδάκη , Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη , Γ. Πολύζο, Α. Σβερκό). Δεν νομίζω ότι τίθεται θέμα ικανότητας επίλυσης από μαθητές β΄ λυκείου παρά μόνο τοποθετήσεως στον προβλεπόμενο φάκελο.
Φιλικά,
Δημήτρης
Δημήτρη ευχαριστώ για την απάντηση μα δε ζήτησα κάτι τέτοιο και φυσικά δε ζήτησα απάντηση από εσένα.

Και αν γυρίσουμε προς τα πίσω τότε θα βγει κάποιος άλλο και θα γράψει πως και στο σχολικό βιβλίο του Νείλου Σακελλάριου τα έχει οπότε οκ.

Μπορεί κάποιος να μου υποδείξει την αντικατάσταση που κάνει ο θεματοθέτης στα σχολικά βιβλία των ετών που διανύουμε;

Το θέμα μου είναι αλλού και θέλω να είμαι ξεκάθαρος. Αν έχουμε κάποιο καλό θέμα στο οποίο η λύση που διαθέτουμε

ξεφεύγει από τα πλαίσια ενός φακέλου τότε γιατί να το θέτουμε σε αυτόν;

Μήπως πρέπει να αναρωτιόμαστε πως κάποιοι μπορεί και να παιδευτούν να το λύσουν ενώ δε λύνεται σε συγκεκριμένα πλαίσια;

Αυτό εννοώ και τίποτα παραπάνω.

ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ: Ένα καλό παράδειγμα για να μην παιδεύεται άδικα κόσμος είναι κατά την άποψη μου ---->αυτό όπου ο θεματοθέτης λέει-πληροφορεί όποιον θέλει να ασχοληθεί πως "ψάχνει" για κάτι σχολικό.
Έτσι δεν παιδεύεται κανένας. Αν κάποιος έχει να πει κάτι με αυτόν τον τρόπο θα το καταθέσει.


Χρήστος Κυριαζής
batmsup1
Δημοσιεύσεις: 222
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 3:10 pm

Re: Σύστημα 3x3

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από batmsup1 » Πέμ Νοέμ 21, 2013 4:02 pm

Κύριε κρις γάτε με την ιδια λογική πρέπει να αφαιρεθούν και οι περισσότερες ασκήσεις της γ λυκείου, γιατι στο σχολικό ουδεμία αναφορά υπάρχει σε παρόμοιες τεχνικές.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα 3x3

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Νοέμ 21, 2013 4:04 pm

batmsup1 έγραψε:Κύριε κρις γάτε με την ιδια λογική πρέπει να αφαιρεθούν και οι περισσότερες ασκήσεις της γ λυκείου, γιατι στο σχολικό ουδεμία αναφορά υπάρχει σε παρόμοιες τεχνικές.
Κύριε άνευ ονόματος δεν είπα να αφαιρεθούν. Είπα να υπάρχει γενικότερα μία σύνεση.
Η αφαίρεση είναι δική σας εφεύρεση.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης