Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:14 am

dimplak έγραψε:
dimplak έγραψε:2.

4 x^2 - 7x + 3 = (x+1) \sqrt{2x^2 + 4x - 3}
Πρέπει 2x^2 + 4x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} , - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} ] .

Για x = - 1 η εξίσωση δεν αληθεύει , άρα για x \ne - 1 έχουμε:

\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1} = \sqrt{2x^2 + 4x - 3}  \Leftrightarrow

\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1}-(ax+b) =  \sqrt{2x^2 + 4x - 3}-(ax+b) \Leftrightarrow

\frac{4 x^2 - 7x + 3 - (ax + b)(x+1)}{x+1} = \frac{2x^2 + 4x - 3 - (ax+b)^2}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} \Leftrightarrow

\frac{(4 -a)x^2 + (-7 -a - b)x + (3-b)}{x+1} = \frac{(2 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x + (-3 - b^2)}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} (1).

Θέτουμε: \frac{4 - a}{2 - a^2} = \frac{-7 - a - b}{4 - 2ab} = \frac{3 - b}{-3 - b^2} = k και προκύπτει το σύστημα

\begin{cases} ka^2 - a + 4 - 2k = 0 \\ 7 + a + b = k(2ab - 4) \\ kb^2 - b + 3 + 3k = 0 \end{cases} με λύσεις k=-1, a = 2 , b=-1 .

Τότε (1) \Leftrightarrow  \frac{2x^2 - 8x +4}{x+1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  \frac{-2x^2 + 8x - 4}{-x -1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow

\begin{cases} -2x^2 + 8x - 4 = 0 \\ \sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1 = -1 -x \end{cases} \Leftrightarrow

\begin{cases} x = 2 \pm \sqrt{2} \\ 7x^2 - 4x + 3 = 0 (x \le 0) \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2} .

Επειδή πρέπει x \in [ - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} , - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} ] , δεκτή είναι μόνο η λύση x = 2 - \sqrt{2}.

Καλημέρα Δημήτρη
Γιατί αφαίρεσες και από τα δυο μέλη της εξίσωσης το ax+b ; και όχι κάτι άλλο ποιά είναι η ιδέα αυτής της σκέψης ;

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.

Λέξεις Κλειδιά:
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:20 am

Γιάννη καλημέρα!

Καταρχήν διόρθωσα τους περιορισμούς και είναι δεκτή μόνο η λύση x = 2 - \sqrt{2}.

Το έκανα αυτό για να καταλήξω σε ισοδύναμα κλάσματα και μετά να πάρω ισότητα αριθμητών και παρανομαστών!

Συγκεκριμένα, αφαίρεσα το ax + b για να δημιουργήσω στους αριθμητές αργότερα πολυώνυμα 2ου βαθμού.

Την ίδια μέθοδο χρησιμοποιούμε και εμείς στη Γ Λυκείου , στα όρια στο άπειρο με ριζικά!

Η μέθοδος αυτή διδάσκεται στο Βιετνάμ!

Φιλικά,

Δημήτρης
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Πέμ Οκτ 20, 2016 10:25 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:23 am

6.

\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x+1} = x +1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:27 am

7.

\sqrt{x^3 + x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2} = x^2 + x + 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:30 am

8.

\sqrt{x + 8 \sqrt{x}} + \sqrt{x + 7 \sqrt{x} + 1} = \sqrt[4]{x} + 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:33 am

9.

\sqrt{x^2 + 16} - 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = \sqrt{x+1} - 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:39 am

10.

\sqrt{x^2 - 2} + 2 = x + \sqrt{2x - 2}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:40 am

dimplak έγραψε:Γιάννη καλημέρα!

Καταρχήν διόρθωσα τους περιορισμούς και είναι δεκτή μόνο η λύση x = 2 - \sqrt{2}.

Το έκανα αυτό για να καταλήξω σε ισοδύναμα κλάσματα και μετά να πάρω ισότητα αριθμητών και παρανομαστών!

Συγκεκριμένα, αφαίρεσα το ax + b για να δημιουργήσω στους αριθμητές αργότερα πολυώνυμα 2ου βαθμού.

Την ίδια μέθοδο χρησιμοποιούμε και εμείς στη Γ Λυκείου , στα όρια στο άπειρο με ριζικά!

Η μέθοδος αυτή διδάσκεται στο Βιετνάμ!

Φιλικά,

Δημήτρης
Δημήτρη ,μάλλον κάτι μου διαφεύγει ,σε ποιά ασκηση του σχολικού βιβλίου χρησιμοποιείται ; και κάποιος σύνδεσμο από το Βιετνάμ θα μας διαφωτίσει


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 11:00 am

Γιάννη,

Βρίσκεις κάποιο λάθος στην άσκηση ή απλά δεν καταλαβαίνεις τη μέθοδο?

Αν συμβαίνει μόνο το δεύτερο , κι εγώ απλά την υιοθέτησα και τη δημοσίευσα να τη μοιραστώ μαζί σας!

Η λογική της μεθόδου είναι να δημιουργήσεις στους αριθμητές πολυώνυμα ίδιου βαθμού με ανάλογους συντελεστές!

Παρόμοια λογική έχουμε και στα όρια στο άπειρο με ριζικά:

lim_{x \rightarrow + \infty} (\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - x} - \sqrt{9x^2 + 1}).

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε στα ριζικά κατάλληλους παράγοντες πρώτου βαθμού και μετά πολλαπλασιάζουμε με το συζυγή ώστε να φύγουν τα

ριζικά με διαφορά τετραγώνου!

Ελπίζω να μη σε μπέρδεψα! Ασκήσεις βρίσκω τυχαία μέσα σε ξένα φόρουμ!

Δημήτρης


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 20, 2016 11:10 am

Ευχαριστώ



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Πέμ Οκτ 20, 2016 10:12 pm

dimplak έγραψε:6.

\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x+1} = x +1
Πρέπει: {x^2} + 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 2\;\dot \eta \;x \ge 0 και 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}

και x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1

Άρα πρέπει x \ge 0

Αν x = 0 η εξίσωση επαληθεύεται.

Αν x > 0 η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα:

\sqrt {{x^2} + 2x}  - x + \sqrt {2x + 1}  - 1 = 0 \Leftrightarrow

\dfrac{{{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x}} + \dfrac{{2x + 1 - 1}}{{\sqrt {2x + 1}  + 1}} = 0 \Leftrightarrow

2x\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x}} + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow

x = 0 απορρίπτεται ή \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + x}} + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + 1}} = 0 η οποία είναι αδύνατη ως άθροισμα θετικών αριθμών.

Τελικά η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x = 0

Edit: Έγινε μικρή διόρθωσης της λύσης επειδή υπήρχε περίπτωση μηδενισμού παρονομαστή που μου είχε διαφύγει.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Σάβ Οκτ 22, 2016 9:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Πέμ Οκτ 20, 2016 11:15 pm

dimplak έγραψε:7.

\sqrt{x^3 + x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2} = x^2 + x + 1
Έστω x λύση της εξίσωσης.

Θέτουμε \sqrt{x^3 + x^2 + 1}=a \Rightarrow x^3 + x^2 + 1=a^2 \; (1) και

\sqrt{x^2 + 2}=b  \Rightarrow x^2+2=b^2 \; (2)

Είναι a+b= x^2 + x + 1>0

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2):
x^3 + x^2 + 1-x^2-2=a^2-b^2 \Rightarrow  (x-1)(x^2+x+1)=(a+b)(a-b)  \Rightarrow

(x-1)(a+b)=(a+b)(a-b) \Rightarrow x-1=a-b  \Rightarrow x=a-b+1 \; (3)

Είναι: x^3 + x^2 + 1=a^2  \Rightarrow x^3 + x^2+x + 1=a^2+x  \Rightarrow x(x^2+x+1)+1=a^2+x \Rightarrow

x(a+b)+1=a^2+x \Rightarrow (a+b-1)x=a^2-1 \Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{a+b-1}\; (4)  \quad a+b-1>0

Από (3) , (4) έχουμε: a-b+1=\dfrac{a^2-1}{a+b-1} \Rightarrow (a-b+1)(a+b-1)=a^2-1 \Rightarrow

a^2-(b-1)^2=a^2-1  \Rightarrow (b-1)^2=1  \Rightarrow b-1=1 ή b-1=-1  \Rightarrow

b=2 ή b=0(απορρίπτεται)

Άρα x^2+2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.

Με έλεγχο στην αρχική εξίσωση βρίσκουμε ότι η λύση είναι η x=\sqrt{2}.


Στράτης Αντωνέας
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 21, 2016 8:41 am

dimplak έγραψε:6.

\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x+1} = x +1
Αλλιώς. Για \displaystyle{x \geqslant 0}, η εξίσωση γράφεται: \displaystyle{\sqrt {{{(x + 1)}^2} - 1}  + \sqrt {2(x + 1) - 1}  = x + 1}

Θέτω x+1=a, a\geqslant 1, \displaystyle{\sqrt {{a^2} - 1}  + \sqrt {2a - 1}  = a \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 1}  = a - \sqrt {2a - 1} } και αν υψώσουμε στο τετράγωνο

\displaystyle{2a = 2a\sqrt {2a - 1} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{a \geqslant 1} \sqrt {2a - 1}  = 1 \Leftrightarrow a = 1,} οπότε \boxed{x=0}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 21, 2016 9:06 am

dimplak έγραψε:10.

\sqrt{x^2 - 2} + 2 = x + \sqrt{2x - 2}
Για \displaystyle{x \geqslant \sqrt 2 } η εξίσωση γράφεται: \displaystyle{\sqrt {(x - 2)(x + 2) + 2}  = (x - 2) + \sqrt {2(x - 2) + 2} } και για \boxed{x-2=a}

\displaystyle{\sqrt {{a^2} + 4a + 2}  = a + \sqrt {2a + 2}  \Leftrightarrow 2a = 2a\sqrt {2a + 2}  \Leftrightarrow a = 0 \vee \left[ {\sqrt {2a + 2}  = 1 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{2}} \right]}

Και οι δύο ρίζες είναι δεκτές, άρα \boxed{x=2} ή \boxed{x = \frac{3}{2}}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Σάβ Οκτ 22, 2016 9:04 pm

11.

\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Οκτ 23, 2016 6:23 pm

dimplak έγραψε:8.

\sqrt{x + 8 \sqrt{x}} + \sqrt{x + 7 \sqrt{x} + 1} = \sqrt[4]{x} + 1 (1)
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Κατ΄αρχάς πρέπει x\geq 0.
i) Για x=0 η (1) ισχύει.
ii) Για x>0 θα αποδείξουμε ότι:

\sqrt{x + 8 \sqrt{x}} + \sqrt{x + 7 \sqrt{x} + 1} > \sqrt[4]{x} + 1 \Leftrightarrow

x+8\sqrt{x}+x+7\sqrt{x}+1+2\sqrt{(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)}>\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}+1 \Leftrightarrow

x+7\sqrt{x}+\sqrt{(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)}>\sqrt[4]{x}.

Αρκεί να δείξουμε ότι: x^2+49x+(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)>\sqrt{x} \Leftrightarrow

x^2+53x+7\sqrt{x}>0. Ισχύει.

Άρα μοναδική λύση η x=0.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Οκτ 23, 2016 8:08 pm

dimplak έγραψε:11.

\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5
Καλησπέρα. Μια απάντηση ...παραδοσιακά.
Και τα 2 τριώνυμα έχουν αρνητικές διακρίνουσες. Συνεπώς δεν έχουμε περιορισμούς.
Είναι : \sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5-\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} . (1)

Υψώνουμε στο τετράγωνο, παρακάπτοντας τους περιορισμούς και έχουμε μετά πράξεις (όχι πολλές...)

(1)\Leftrightarrow 49x^2-168\sqrt{2} x +288 = 0 .

H τελευταία έχει διακρίνουσα ίση με το μηδέν , οπότε μοναδική ρίζα η x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}, η
οποία επαληθεύει την αρχική.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Κυρ Οκτ 23, 2016 8:38 pm

dimplak έγραψε:11.

\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5
Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω x ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a  \Rightarrow  x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1) και

\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)

Είναι a+b=5 \; (3)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2): x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow

\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)

Προσθέτουμε τις (3) , (4): 2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}

Αντικαθιστούμε στην (1): x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100}  \Rightarrow
49x^2-16\sqrt{2}x+288=0  \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0  \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.


Στράτης Αντωνέας
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Οκτ 24, 2016 12:39 pm

stranton έγραψε:
dimplak έγραψε:11.

\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5
Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω x ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a  \Rightarrow  x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1) και

\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)

Είναι a+b=5 \; (3)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2): x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow

\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)

Προσθέτουμε τις (3) , (4): 2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}

Αντικαθιστούμε στην (1): x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100}  \Rightarrow
49x^2-16\sqrt{2}x+288=0  \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0  \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.
Καλημέρα κ. Αντωνέα και κ. Γλάρο!

Κι εγώ με παρόμοιο τρόπο την έλυσα , καθαρά αλγεβρικά!

Κυρίως όμως την πρότεινα γιατί ο συγγραφέας της προτείνει και έναν γεωμετρικό τρόπο! Συγκεκριμένα θεωρεί ορθογώνιο τρίγωνο

με κάθετες πλευρές με μήκη 3 και 4 αντίστοιχα. Ο άγνωστος τότε χ είναι η διχοτόμος της ορθής γωνίας!

Φιλικά,

Δημήτρης


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Οκτ 24, 2016 12:43 pm

dimplak έγραψε:
stranton έγραψε:
dimplak έγραψε:11.

\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5
Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω x ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a  \Rightarrow  x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1) και

\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)

Είναι a+b=5 \; (3)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2): x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow

\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)

Προσθέτουμε τις (3) , (4): 2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}

Αντικαθιστούμε στην (1): x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100}  \Rightarrow
49x^2-16\sqrt{2}x+288=0  \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0  \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.
Καλημέρα κ. Αντωνέα και κ. Γλάρο!

Κι εγώ με παρόμοιο τρόπο την έλυσα , καθαρά αλγεβρικά!

Κυρίως όμως την πρότεινα γιατί ο συγγραφέας της προτείνει και έναν γεωμετρικό τρόπο! Συγκεκριμένα θεωρεί ορθογώνιο τρίγωνο

με κάθετες πλευρές με μήκη 3 και 4 αντίστοιχα. Ο άγνωστος τότε χ είναι η διχοτόμος της ορθής γωνίας!

Φιλικά,

Δημήτρης
Kαλημέρα Δημήτρη και καλημέρα σε όλους
Το τελευταίο σχόλιο είναι εντυπωσιακό και θα το μελετήσω πιστεύω να αρέσει σε αρκετά μέλη του φόρουμ

Φιλικά και ΘΡΥΛικά
Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες