Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 24, 2016 3:04 pm

διχ.png
διχ.png (5.96 KiB) Προβλήθηκε 2882 φορές
Πράγματι k+m=5 με k=\sqrt{x^2-3\sqrt{2}x+9} κ.λ.π.

Φυσικά τώρα η x υπολογίζεται και ευκολότερα ( π.χ. με Stewart}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 24, 2016 5:50 pm

Με Stewart βρίσκουμε εύκολα \displaystyle{{x} = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}} (ή και με \displaystyle{{x^2} = 12 - km = 12 - \frac{{15}}{7} \cdot \frac{{20}}{7} = ...})

Στο σχήμα του Θανάση όμως, είναι και \displaystyle{\kappa  = \sqrt {{x^2} - 3x\sqrt 2  + 9}  = \frac{{15}}{7}}. Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε δύο ρίζες

\displaystyle{{x_1} = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}} (που είναι και η δεκτή λύση) και \displaystyle{{x_2} = \frac{{9\sqrt 2 }}{7}}. Γιατί απορρίπτουμε την x_2;

To αφήνω ως ερώτημα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 24, 2016 8:04 pm

Η απόσταση του A από τη BC ( ύψος ) είναι \dfrac{12}{5} και προφανώς \dfrac{9\sqrt{2}}{7}<\dfrac{12}{5} ,

ενώ ασφαλώς : AD>\dfrac{12}{5}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 24, 2016 8:19 pm

KARKAR έγραψε:Η απόσταση του A από τη BC ( ύψος ) είναι \dfrac{12}{5} και προφανώς \dfrac{9\sqrt{2}}{7}<\dfrac{12}{5} ,

ενώ ασφαλώς : AD>\dfrac{12}{5}
:coolspeak:


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 25, 2016 9:02 am

dimplak έγραψε:9.

\sqrt{x^2 + 16} - 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = \sqrt{x+1} - 1
Καλημέρα σε όλους!

Δίνω μια λύση για την 9.

Πρέπει x \ge - 1 .

Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη πάνω και κάτω με τον αντίστοιχο συζυγή τους, οπότε έχουμε:

\sqrt{x^2 + 16} - 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = \sqrt{x+1} - 1 \Leftrightarrow

\frac{(x^2 + 16) - 4(x^2 - 3x + 4)}{\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4}} = \frac{x + 1 - 1}{ \sqrt{x+1} + 1} \Leftrightarrow

\frac{-3x^2 + 12x}{\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4}} = \frac{x}{ \sqrt{x+1} + 1}  (1)

Άρα μία λύση είναι x = 0 . Για x \ne 0 , από την (1) έχουμε:

\sqrt{x^2 + 16} + 2 \sqrt{x^2 - 3x + 4} = -3(x-4)(\sqrt{x+1} + 1) \Leftrightarrow

Προσθέτω κατά μέλη την παραπάνω εξίσωση με την αρχική , οπότε προκύπτει ότι:

2 \sqrt{x^2 +16} = (13 - 3x) \sqrt{x+1} + 11 - 3x \Leftrightarrow ( Παρατηρώ ότι το x = 3 είναι λύση της)

2 \sqrt{x^2+ 16} - 10 = (13 - 3x) \sqrt{x+1} - 2(13 - 3x) + 16 - 6x + 11 - 3x \Leftrightarrow

2( \sqrt{x^2 + 16} - 5) = (13 - 3x) ( \sqrt{x+1} - 2) - 9(x - 3) \Leftrightarrow

\frac{2(x^2 - 9)}{\sqrt{x^2 + 16} + 5} = \frac{(13 - 3x)(x-3)}{\sqrt{x+1} + 2} - 9(x-3)} \Leftrightarrow

(x-3) \left [ \frac{2(x-3)}{\sqrt{x^2 + 16} +5} - \frac{13 - 3x}{\sqrt{x+1} + 2} + 9 \right ] = 0.

Οπότε και x = 3 και η παράσταση μέσα στην αγκύλη αποδεικνύεται ότι είναι θετική για x \ge -1.

Συνεπώς οι λύσεις της εξίσωσης είναι x=0 ή x =3.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 25, 2016 9:23 am

12.

\sqrt{5x^2 - 5x +3} - \sqrt{7x-2} + 4x^2 - 6x + 1 = 0 .


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Κυρ Οκτ 30, 2016 7:02 pm

13.

\frac{1}{\sqrt{1+x}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{2} (x+1) + 2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Οκτ 31, 2016 11:09 pm

14.

\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2.

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Παρ Νοέμ 04, 2016 9:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 03, 2016 2:12 pm

15.

\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}} = x - \frac{1}{2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 03, 2016 2:17 pm

16.

\sqrt{2 x^2 - 6x + 8} = x \sqrt{2} + (5 - 4 \sqrt{2} ) \sqrt{x} + 4 \sqrt{2} - 6


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 03, 2016 2:21 pm

17.

x - 2 \sqrt{x-1} + 2 \sqrt{7-x} = \sqrt{- x^2 + 8x - 7} + 1


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 03, 2016 5:19 pm

dimplak έγραψε:15.

\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{3-x}} = x - \frac{1}{2}
Για \displaystyle{ - 1 \leqslant x \leqslant 3,x \ne 1} η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\frac{{\sqrt {x + 1} \left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} } \right)}}{{2(x - 1)}} = \frac{{2x - 1}}{2} \Leftrightarrow (x + 1) + \sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  = 2{x^2} - 3x + 1 \Leftrightarrow }

\displaystyle{\sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  = 2{x^2} - 4x} και με νέους περιορισμούς \boxed{x \in [ - 1,0] \cup [2,3]} υψώνω στο τετράγωνο:

\displaystyle{4{x^4} - 16{x^3} + 17{x^2} - 2x - 3 = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{Horner} (x - 1)^2(4{x^2} - 8x - 3) = 0}, κι επειδή x\ne 1, παίρνω τελικά \boxed{x = \frac{{2 \pm \sqrt 7 }}{2}}


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Πέμ Νοέμ 03, 2016 8:26 pm

dimplak έγραψε:17.

x - 2 \sqrt{x-1} + 2 \sqrt{7-x} = \sqrt{- x^2 + 8x - 7} + 1....(1)
Η εξίσωση ορίζεται όταν 1\leq x\leq 7 και τότε γίνεται:

(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x-1})^{2}-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{7-x}=\sqrt{(x-1)(7-x)}\Leftrightarrow

\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}-2)-\sqrt{7-x}(\sqrt{x-1}-2)=0\Leftrightarrow

\sqrt{x-1}=2..\vee ..\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\Leftrightarrow x=5..\vee ..x=4

Οι τελευταίες είναι προφανώς δεκτές και (όλες) οι λύσεις της εξίσωσης.


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Νοέμ 04, 2016 8:41 am

18.

\sqrt{x^2 + 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 1} + 6 = 3 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x - 1}


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Νοέμ 04, 2016 10:10 am

dimplak έγραψε:18.

\sqrt{x^2 + 3x + 2} + \sqrt{x^2 - 1} + 6 = 3 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x - 1}
Η εξίσωση γράφεται ως \displaystyle (\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} - 3) = 0 (ο διαχωρισμός των ριζών στην παραγοντοποίηση είναι επιτρεπτός αφού οι ρίζες των παραγόντων εμφανίζονται και ξεχωριστά). Ο πρώτος παράγοντας μηδενίζεται για x=3 (αποδεκτή λύση). Ο δεύτερος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του x και μηδενίζεται για x=2, οπότε αυτή είναι η μοναδική του ρίζα (αποδεκτή).

Έτσι, x \in \{ 2, 3 \}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Νοέμ 04, 2016 11:04 am

dimplak έγραψε:14.

\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2.

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!

Διδακτικός προβληματισμός!

Έλυσα την παραπάνω εξίσωση στους πραγματικούς αριθμούς και βρήκα ότι είναι αδύνατη. Συγκεκριμένα βρήκα λύσεις χ=-1 , χ=1 , χ=9 και τις

απέρριψα!


Μετά την έλυσα στους μιγαδικούς αριθμούς και βρήκα λύσεις χ=0 και χ=1 που όμως είναι πραγματικοί αριθμοί.

Θα ήθελα την άποψη σας

Υ.Γ. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο τρόπος λύσης!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 04, 2016 11:26 am

dimplak έγραψε:
dimplak έγραψε:14.

\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x - 1} = 2.

Υ.Γ. Υπήρχε τυπογραφικό λάθος! Διορθώθηκε!

Διδακτικός προβληματισμός!

Έλυσα την παραπάνω εξίσωση στους πραγματικούς αριθμούς και βρήκα ότι είναι αδύνατη. Μετά την έλυσα στους μιγαδικούς αριθμούς και βρήκα λύσεις χ=0 και χ=1 που όμως είναι πραγματικοί αριθμοί.

Θα ήθελα την άποψη σας

Υ.Γ. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο τρόπος λύσης!
Καλημέρα Δημήτρη, καλημέρα σε όλους!

Η εξίσωση έχει και μια "γνήσια" πραγματική ρίζα x=9 και αν δεχτούμε αρνητικά υπόρριζα στις κυβικές ρίζες (εμένα δεν μ' ενοχλεί καθόλου. Έτσι το διδάχτηκα ως μαθητής), τότε έχει και άλλη μία ρίζα x=-1.

Επειδή όμως είμαστε σε φάκελο Β' Λυκείου και λύση μέσω μιγαδικών δεν επιτρέπεται, θα έλεγα ότι σύμφωνα με τα όσα έχουν διδαχθεί οι μαθητές, η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα \boxed{x=9}

ΥΓ.1. Δεν την έλυσα ακόμα. Απλώς βρήκα αυτές τις λύσεις, ψάχνοντας για τιμές που να την επαληθεύουν.
ΥΓ.2. Όταν ξεκίνησα να γράφω οι λύσεις x=-1, x=9 δεν είχαν γραφτεί απ' τον Δημήτρη.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Νοέμ 04, 2016 11:32 am

Καλημέρα κ. Γιώργο!

Πράγματι έκανα ένα λάθος στην εύρεση των περιορισμών και τελικά οι περιορισμοί είναι x \ge 8,1231 οπότε η λύση x=9

είναι δεκτή!!!

Ευχαριστώ για την επισήμανση!

Ο διδακτικός προβληματισμός όμως συνεχίζεται! Υπάρχει η αλήθεια της ελληνικής σχολικής ύλης, η αλήθεια της σχολικής ύλης στο εξωτερικό

ή η αλήθεια των μαθηματικών; :-) Άλλο ο χ=0 ο πραγματικός και άλλο ο χ=0 ο μιγαδικός; :-)

Φιλικά,

Δημήτρης


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 04, 2016 12:34 pm

dimplak έγραψε: Ο διδακτικός προβληματισμός όμως συνεχίζεται! Υπάρχει η αλήθεια της ελληνικής σχολικής ύλης, η αλήθεια της σχολικής ύλης στο εξωτερικό

ή η αλήθεια των μαθηματικών; :-) Άλλο ο χ=0 ο πραγματικός και άλλο ο χ=0 ο μιγαδικός; :-)

Φιλικά,

Δημήτρης
Αυτή είναι μια μεγάλη κουβέντα και φαντάζομαι ότι πρέπει να έχει γίνει ανάλογη συζήτηση στο :logo: Αν κάποιος γνωρίζει κάτι, ας δώσει μία παραπομπή.

Εγώ θα μιλήσω αποκλειστικά για τη γενιά μου. Ως μαθητές ξεκινήσαμε να διδασκόμαστε τη λύση της εξίσωσης 2ου βαθμού, έχοντας ήδη εισάγει την έννοια του φανταστικού και του μιγαδικού αριθμού. Έτσι θεωρούσαμε πάντα τους πραγματικούς υποσύνολο των μιγαδικών. Επομένως, όταν σε μία άσκηση ζητούσε να λυθεί μία εξίσωση (με πραγματικούς συντελεστές), την λύναμε απευθείας στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, χωρίς περαιτέρω εξηγήσεις. Δεν υπήρχε διαχωρισμός. Και νομίζω ότι είχε κάποια λογική.

Όπως για παράδειγμα, αν δοθεί η εξίσωση \displaystyle{2x - 1 = 0}, γράφουμε \displaystyle{x =   \frac{1}{2}} και δεν λέμε είναι αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων,

αλλά έχει μία λύση στους ρητούς, έτσι και τότε όταν δινόταν η εξίσωση \displaystyle{{x^2} + 1 = 0}, γράφαμε απευθείας \displaystyle{x =  \pm i}, δίχως να

αναφέρουμε ότι δεν έχει λύση στους πραγματικούς. Με αυτό το σκεπτικό δεν βάζαμε περιορισμούς στις κυβικές ρίζες και

θεωρούσαμε όλες τις λύσεις δεκτές. Προσωπικά δεν καταλαβαίνω γιατί η εξίσωση \displaystyle{{x^3} =  - 1} έχει λύση x=-1, ενώ η εξίσωση

\displaystyle{\sqrt[3]{x} =  - 1} είναι αδύνατη. Θα μπορούσα να πω κι άλλα, και θα το κάνω, αν ανοίξει τέτοια συζήτηση σε άλλο φάκελο φυσικά.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Νοέμ 04, 2016 12:45 pm

Κ. Γιώργο, συμφωνώ με όσα λέτε και νομίζω πως οι τεχνητοί περιορισμοί στο σχολικό βιβλίο γίνονται για διδακτικούς σκοπούς!

Φυσικά και θα ήθελα μια δημιουργική συζήτηση ή να ... εντοπιστούν όμοιες συζητήσεις στο φόρουμ για να δούμε και άλλες απόψεις!

....


Αυτήν την εβδομάδα με έχει παιδέψει η εξίσωση 13! Έχω αποδείξει ότι είναι δεκτή η λύση χ=0 αλλά υπάρχει άλλη μία που δεν μπορώ να αποδείξω

αλγεβρικά χωρίς ύλη γ λυκείου ίσως!
graph.jpg
graph.jpg (37.73 KiB) Προβλήθηκε 2652 φορές
Απευθύνω μεγάλη έκκληση σε όλα τα μαθηματικά μυαλά να βάλουμε τα δυνατά μας να τη λύσουμε για να πάψουν τα καταστρέφονται δάση στον

Αμαζόνιο για παραγωγή χαρτιού! :-)

Φιλικά,

Δημήτρης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης