Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Νοέμ 07, 2016 9:02 am

19.

24x^2 -60x + 36 = \frac{1}{\sqrt{5x-7}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}



Λέξεις Κλειδιά:
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am

20.

(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Νοέμ 07, 2016 11:38 am

dimplak έγραψε:19.

24x^2 -60x + 36 = \frac{1}{\sqrt{5x-7}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}}
Kαλημέρα Δημήτρη
Πρέπει x>\dfrac{7}{5}

6(x-1)(2x-3)=\dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt{5x-7}}{\sqrt{5x-7}\sqrt{x-1}}\Leftrightarrow 6(x-1)(2x-3)\sqrt{x-1}\sqrt{5x-7}=\dfrac{-2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{5x-7}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}, 6(1-x)\sqrt{x-1}\sqrt{5x-7}=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{5x-7}}

Η τελευταία εξίσωση δεν έχει λύση ,λόγω του περιορισμού ,άρα μοναδική λύση η x=\dfrac{3}{2}


Φιλικά και ΘΡΥΛικά

Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 07, 2016 2:28 pm

dimplak έγραψε:19.

24x^2 -60x + 36 = \dfrac{1}{\sqrt{5x-7}} - \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}

Ενδιαφερόμαστε για x>\dfrac{7}{5} . Από τη μελέτη του τριωνύμου (που έχει ρίζες 1 και \dfrac{3}{2} ) ,

έχουμε ότι 24x^2 -60x + 36<0 για x\in (\dfrac{7}{5},\dfrac{3}{2}) και 24x^2 -60x + 36>0 για x>\dfrac{3}{2} .

Το δεύτερο μέλος μηδενίζεται για x=\dfrac{3}{2} , είναι θετικό για x\in (\dfrac{7}{5},\dfrac{3}{2}) και αρνητικό για x>\dfrac{3}{2} ,

διότι π.χ. : x>\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 4x>6\Leftrightarrow 5x>x+6\Leftrightarrow 5x-7>x-1\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5x-7}} - \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}<0 .

Συνεπώς μοναδική ρίζα της εξίσωσης , είναι η x=\dfrac{3}{2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 08, 2016 10:32 pm

21.

x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τρί Νοέμ 08, 2016 11:22 pm

dimplak έγραψε:21.

x^3 + 4 \sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}}
Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν 6x-4\sqrt{2}\geq 0 \Leftrightarrow x\geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}

Τότε:
x^3+4 \sqrt{2} = 6\sqrt[3]{6x-4 \sqrt{2}}  \Leftrightarrow

x^3-2\sqrt{2} = 6 \sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -6\sqrt{2} \Leftrightarrow

x^3-\left(\sqrt{2}\right)^3 = 6 \left(\sqrt[3]{6x - 4 \sqrt{2}} -\sqrt{2}\right) \Leftrightarrow

(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2\right) = 6\cdot\dfrac{6x - 4 \sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \Leftrightarrow

(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2\right) = 36\cdot\dfrac{x-\sqrt{2}}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \Leftrightarrow

(x-\sqrt{2})\left(x^2+x\sqrt{2}+2-\dfrac{36}{\sqrt[3]{(6x-4\sqrt{2})^2}+\sqrt[3]{6x-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}+2} \right) = 0 \Leftrightarrow

x=\sqrt{2}

Η συνάρτηση στην παρένθεση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \left[\frac{2\sqrt{2}}{3},+\infty\right)


Στράτης Αντωνέας
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 09, 2016 5:45 pm

22.
2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt {x^3 + 8}


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 09, 2016 5:52 pm

23.

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 09, 2016 8:02 pm

socrates έγραψε:23.

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}
Υποθέτοντας βάσιμα , ότι δεν υπάρχει το 2 μπροστά από την αφαιρούμενη ρίζα :

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - \sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}

\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1+(x+1)^2}=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{(x+1)^2}

Επειδή (x+1)^2\geq 0 και x^2+x+1>0 , το β' μέλος της αρχικής μη αρνητικό .

Αλλά αν \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} , τότε κάποιος από τους a,b είναι μηδέν

και ο κλήρος πέφτει υποχρεωτικά στο (x+1)^2 , οπότε x=-1 .


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 09, 2016 9:10 pm

KARKAR έγραψε:
socrates έγραψε:23.

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}
Υποθέτοντας βάσιμα , ότι δεν υπάρχει το 2 μπροστά από την αφαιρούμενη ρίζα :

...
Κι, όμως, υπάρχει... ;)


Θανάσης Κοντογεώργης
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 9:20 am

24.

x^3 + 3x^2 - 3 \sqrt[3]{3x+5} = 1- 3x


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:09 am

socrates έγραψε:23.

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}

Τα υπόρριζα είναι θετικά για κάθε x \in R.

\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1  \Leftrightarrow

\sqrt{2x^2 + 3x + 2} = 2\sqrt{ x^2 + x +1} + (x +1)

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο οπότε μετά από πράξεις προκύπτει ότι:

-3x^2 - 3x - 3 = 4(x+1)\sqrt{x^2 + x +1}  \Leftrightarrow

4(x+1)\sqrt{x^2 + x +1} + 3(x^2 + x + 1) = 0 \Leftrightarrow

\sqrt{x^2 + x + 1} [ 4(x+1) + 3 \sqrt{x^2 + x + 1} ] = 0΄

Όμως ισχύει \sqrt{x^2 + x + 1} > 0 για κάθε x \in R, οπότε προκύπτει ότι:

4(x+1) + 3 \sqrt{x^2 + x + 1} = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^2 + x + 1} = -4(x+1) .

Για x < - 1 υψώνουμε στο τετράγωνο , οπότε προκύπτει ότι:

7χx^2 + 23x+ 7 = 0 με λύσεις x_{1,2} = \frac{-23 \pm \sqrt{333}}{14}

Δεκτή είναι μόνο η λύση x = \frac{-23 - \sqrt{333}}{14} \approx - 2, 95.
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:13 am

socrates έγραψε:23.

\displaystyle{\sqrt{2x^2 + 3x + 2} - 2\sqrt{ x^2 + x +1} = x +1}
Καλημέρα

Θέτουμε w=\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow w^{2}=x^{2}+x+1,w>0
H εξίσωση γράφεται
\sqrt{2w^{2}+x}-2w=x+1\Leftrightarrow \sqrt{2w^{2}+x}=2w+x+1\Leftrightarrow 0=2w^{2}+x^{2}+x+1+4w(x+1)\Leftrightarrow 0=3w^{2}+4w(x+1)\Leftrightarrow 3w+4(x+1)=0\Leftrightarrow 3\sqrt{x^{2}+x+1}=-4(x+1)\Leftrightarrow 0=7x^{2}+23x+7,x<-1,2w>-(x+1), x=\dfrac{-23+\sqrt{333}}{14},x=\dfrac{-23-\sqrt{333}}{14}
Δεκτή η τελευταία τιμή του χ


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:20 am

25.

2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:36 am

26.

(x-2) \sqrt{11 -2x} + (x-4) \sqrt{2x - 1} = 2 \sqrt{24x - 4x^2 - 11}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 10, 2016 1:39 pm

27.

\sqrt{2x^2-6x+5}=x+\sqrt{-x^2+3x-2}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 6:58 pm

KARKAR έγραψε:27.

\sqrt{2x^2-6x+5}=x+\sqrt{-x^2+3x-2}
Οι περιορισμοί είναι 1 \le x \le 2.

Θέτουμε y = x - 1 οπότε 0 \le y  \le 1 και με αντικατάσταση και με πράξεις προκύπτει ότι:

\sqrt{2y^2 - 2y + 1} = y + 1 + \sqrt{y -y^2}

Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε πράξεις οπότε προκύπτει ότι:

2y^2 - 5y = 2(y+1)\sqrt{y - y ^2}  \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow

\sqrt{y} [ \sqrt{y} (2y - 5) - 2(y+1) \sqrt{1-y}] = 0

Συνεπώς \sqrt{y} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow x = 1 (μοναδική λύση) διότι αποδεικνύεται με διάταξη ότι

\sqrt{y} (2y - 5) - 2(y+1) \sqrt{1-y} < 0 για 0 \le y  \le 1.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 7:33 pm

28.

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 11:33 pm

socrates έγραψε:22.
2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt {x^3 + 8}
Πρέπει -2 \le x \le 1 ή x \ge 2 . Τότε έχουμε ότι:

3 \sqrt{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = 2 [ (x^2 - 2x + 4) - (x+2)] \Leftrightarrow

3 \sqrt{x+2} \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 [ (x^2 - 2x + 4) - (x+2)] \Leftrightarrow

3 a b = 2(b^2 - a^2) όπου a = \sqrt{x+2} και b= \sqrt{x^2 - 2x + 4} (1)

Όμως b > 0 , οπότε διαιρώντας με b^2 προκύπτει από την (1) ότι:

2 \frac{a^2}{b^2} + 3 \frac{a}{b} - 2 = 0 και αν θέσουμε t = \frac{a}{b} προκύπτει ότι:

2 t^2 + 3t - 2 = 0 (2) .

Η εξίσωση (2) έχει λύσεις t = \frac{1}{2} (δεκτή) και t = - 2 (απορρίπτεται)

Ἀρα ισχύει ότι:

\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2 - 2x + 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13} (δεκτές και οι δύο).


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Νοέμ 10, 2016 11:56 pm

29.

\sqrt{x} \sqrt{2 - x^3} + \sqrt{2x^3 - 1} = - 5x^2 + 12x - 5


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης