Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#81

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Παρ Νοέμ 11, 2016 10:45 pm

30.

\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2 + x}}} = x



Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#82

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:23 am

dimplak έγραψε: 28.

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2

Με Cauchy-Schwarz έχουμε

\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} \leq 2\sqrt{x}\leq x+1\leq  x^2 - x + 2

με ισότητα μόνο στο x=1.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#83

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:33 am

dimplak έγραψε: 30.

\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2 + x}}} = x
Θέλουμε 0\leq x\leq 2, οπότε υπάρχει \theta \in [0,\pi/2] ώστε \displaystyle{x=2\cos \theta... }


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6078
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#84

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Νοέμ 12, 2016 12:48 am

dimplak έγραψε: 24.

x^3 + 3x^2 - 3 \sqrt[3]{3x+5} = 1- 3x


\displaystyle{\iff f(i)=f^{-1}(i)} όπου i=x+1 και \displaystyle{f(x)=\frac{x^3-2}{3}...}


Θανάσης Κοντογεώργης
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#85

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Σάβ Νοέμ 12, 2016 4:43 pm

31.

\sqrt{x^2 + 1} + x = \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#86

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Νοέμ 12, 2016 5:58 pm

dimplak έγραψε: 31.

\sqrt{x^2 + 1} + x = \frac{1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1}}
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
(x^{2}+1)^{2}+x(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=1\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+x(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=0\Leftrightarrow x=0,x^{3}+2x+(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=0,(1)
H λύση x=0 είναι δεκτή ,επαληθεύει την δοθείσα εξίσωση.
(1)\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=-\dfrac{x(x^{2}+2)}{x^{2}+1},(2),x<0, (2)\Leftrightarrow x^{4}+x^{2}-1=0,x=-\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}} ,

η οποία είναι δεκτή λύση



Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#87

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 12, 2016 6:39 pm

32 .

\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#88

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 6:56 pm

KARKAR έγραψε:32 .

\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}
Για \displaystyle{0 \leqslant x \leqslant 2}, θέτω 2x-x^2=t και η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\sqrt {5 - t}  = 1 + \sqrt t \mathop  \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant 5} 5 - t = 1 + t + 2\sqrt t  \Leftrightarrow 2 - t = \sqrt t \mathop  \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant 2} {t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1} (η ρίζα t=4 απορρίπτεται)

Άρα: \displaystyle{2x - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow } \boxed{x=1}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#89

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Νοέμ 12, 2016 7:05 pm

KARKAR έγραψε:32 .

\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}
0\leq x\leq 2

Θέτουμε w=x^{2}-2x
Και η δοθείσα γράφεται

\sqrt{w+5}=1+\sqrt{-w},(*),-5<w<0, (*)\Leftrightarrow \sqrt{-w}=2+w,w>-2, w^{2}+5w+4=0,w=-4,w=-1, x^{2}-2x=-1\Leftrightarrow x=1 δεκτή λύση
H λύση w=-4 απορρίπτεται


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#90

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 12, 2016 7:13 pm

KARKAR έγραψε:32 .

\sqrt{x^2-2x+5}=1+\sqrt{2x-x^2}
Εναλλακτικά μπορούμε να θέσουμε 2x-x^2=t^2, οπότε \displaystyle{\sqrt {5 - {t^2}}  = 1 + t \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1}

( η άλλη ρίζα είναι αρνητική και απορρίπτεται), άρα \boxed{x=1}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#91

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Δευ Νοέμ 14, 2016 9:09 am

33.

16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Τρί Νοέμ 15, 2016 10:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#92

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 14, 2016 1:30 pm

34.

\sqrt{x^2+x-12}+\sqrt{-x^2+x+6}=x^2-5x+6


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#93

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Νοέμ 14, 2016 2:03 pm

KARKAR έγραψε:34.

\sqrt{x^2+x-12}+\sqrt{-x^2+x+6}=x^2-5x+6
Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right)}  + \sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}  = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)

Για να έχει ρίζα στο R πρέπει:

\left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 4\,\,\dot \eta \,\,x \ge 3 και

\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3 και

\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\,\,\dot \eta \,\,x \ge 3

Οι περιορισμοί συναληθεύουν αν x = 3 η οποία τιμή ικανοποιεί την εξίσωση.

Άρα μοναδική λύση είναι η x = 3


Ηλίας Καμπελής
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#94

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 15, 2016 10:39 am

dimplak έγραψε: 33.

16^{(x+1 - \sqrt{x^2 + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}
Ζητώ συγγνώμη! Εκ παραδρομής latex στην πρώτη ρίζα έβαλα x^2 αντί για 2x!

η σωστή εκφώνηση είναι 16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}

Η λύση σίγουρα θα σας αποζημιώσει!

Ευχαριστώ τον κ. Βισβίκη για την επισήμανση!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#95

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 15, 2016 11:33 am

dimplak έγραψε: 33.

16^{(x+1 - \sqrt{2x + 1})^2} \cdot 8^{\sqrt{2x+1}} = 4^{x+2}
Θέτω \displaystyle{2x + 1 = {t^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}} και η εξίσωση μετά τις ιδιότητες των δυνάμεων γράφεται:

\displaystyle{4{\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2} - t} \right)^2} + 3t = {t^2} + 3 \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^3} + 5{t^2} - t - 2 = 0} και με Horner

\displaystyle{(t - 2)({t^3} - 2{t^2} + t + 1) = 0 \Leftrightarrow (t - 2)\left[ {t{{(t - 1)}^2} + 1} \right] = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{t \ge 0} } \boxed{t=2} Άρα: \boxed{x = \frac{3}{2}}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#96

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 15, 2016 1:24 pm

35.

\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#97

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 15, 2016 1:37 pm

36.

\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#98

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 15, 2016 1:55 pm

dimplak έγραψε:35.

\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)
Λήμμα : Για κάθε μη αρνητικό αριθμό a είναι \sqrt{a}\leq\dfrac{a+1}{2} . Απόδειξη απλή ...

Αν λοιπόν ο x είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε : \sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2}\leq\dfrac{3x^3+2x^2+3}{2}

και \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1}\leq\dfrac{-3x^2+x^2+2x}{2} , συνεπώς :

\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} \leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2} ,

δηλαδή : 2x^2+2x+2\leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2} ή 4x^2+4x+4\leq 3x^2+2x+3 ή τελικά

(x+1)^2\leq 0 , που δίνει x=-1 , η οποία τιμή επαληθεύει την αρχική , άρα είναι η λύση της .


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#99

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Νοέμ 15, 2016 2:09 pm

KARKAR έγραψε:
dimplak έγραψε:35.

\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} = 2(x^2 + x + 1)
Λήμμα : Για κάθε μη αρνητικό αριθμό a είναι \sqrt{a}\leq\dfrac{a+1}{2} . Απόδειξη απλή ...

Αν λοιπόν ο x είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε : \sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2}\leq\dfrac{3x^3+2x^2+3}{2}

και \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1}\leq\dfrac{-3x^2+x^2+2x}{2} , συνεπώς :

\sqrt{3x^3 + 2x^2 + 2} + \sqrt{-3x^3 + x^2 + 2x - 1} \leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2} ,

δηλαδή : 2x^2+2x+2\leq\dfrac{3x^2+2x+3}{2} ή 4x^2+4x+4\leq 3x^2+2x+3 ή τελικά

(x+1)^2\leq 0 , που δίνει x=-1 , η οποία τιμή επαληθεύει την αρχική , άρα είναι η λύση της .

Εξαιρετική λύση, κ. Θανάση! Λύση κομψή, έξυπνη και με μαθηματική αισθητική! :clap:


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#100

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 15, 2016 2:39 pm

KARKAR έγραψε:36.

\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2
Χρησιμοποιώντας παρόμοια μέθοδο :D ...

\sqrt{x^3+x^2-1}\leq \dfrac{x^3+x^2}{2} (1)

\sqrt{-x^3+x^2+1}\leq \dfrac{-x^{3}+x^2+2}{2} (2)

Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη. Έχουμε:

x^4-x^2+2=\sqrt{x^3+x^2-1}+ \sqrt{-x^3+x^2+1}\leq \dfrac{2x^2+2}{2}=x^2+1\Rightarrow x^4-2x^2+1\leq0\Rightarrow (x^2-1)^2\leq0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=1 ή x=-1.

Όμως η ρίζα x=-1 απορρίπτεται, γιατί τότε η ρίζα \sqrt{x^3+x^2-1} δεν θα οριζόταν. Άρα x=1 η οποία επαληθεύει την αρχική.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης