Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 11:43 am

1.

\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση! ;)



Λέξεις Κλειδιά:
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 11:47 am

2.

4 x^2 - 7x + 3 = (x+1) \sqrt{2x^2 + 4x - 3}


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 11:54 am

3.

\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{2x^2 + 4x + 3} = 2x + 1


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 18, 2016 12:01 pm

Καλημέρα Δημήτρη για την πρώτη άσκηση έχω τη λύση αλλά σκέφτομαι τη εννοείς με την ευθεία ...; λύση μήπως και εχω τεθλασμένη λύση ;
φιλικά Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 12:04 pm

Καλημέρα, Γιάννη!

Ευθεία λύση εννοώ μεταφορικά με ... ατελείωτες πράξεις! :D


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 12:11 pm

4.

\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 12:22 pm

5.

2 ( x^2 + 2) = 5 \sqrt{x^3 + 1}

Υ.Γ. Σταματώ εδώ σήμερα! Προσμένω λύσεις διαφορετικές από αυτές που έχω!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 18, 2016 12:31 pm

dimplak έγραψε:1.

\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση! ;)

Να θεωρήσουμε ( με κάποια επιφύλαξη ) ως …τεθλασμένη λύση την πιο κάτω;

Πρώτα- πρώτα επειδή πρέπει : \left\{ \begin{gathered} 
  24 + x \geqslant 0 \hfill \\ 
  12 - x \geqslant 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow  - 24 \leqslant x \leqslant 12

Επειδή όμως το άθροισμα των δύο ριζικών είναι 6 αναγκαστικά κάθε ριζικό πρέπει να δίδει ακέραιο αριθμό ,

Δοκιμάζουμε για την παράσταση \sqrt[3]{{x + 24}} τις μόνες τιμές που δίδουν ακέραιο αποτέλεσμα κι αυτές είναι :

x =  - 24,x =  - 16,x = 3 που μόνο πάλι οι \boxed{x =  - 24\,\,,\,\,x = 3} επαληθεύουν.

Άρα αυτές είναι οι λύσεις που ζητάμε .

Φιλικά Νίκος


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 12:36 pm

κ. Νίκο καλημέρα!

Αν και άλλο εννοούσα, για άλλη μια φορά καταφέρατε να δώσετε ... κυριολεκτικά ανεπανάληπτη διδακτικά λύση!

Είστε καθημερινή πηγή έμπνευσης για το μαθηματικό κοινό!

Φιλικά,

Δημήτρης


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Οκτ 18, 2016 12:50 pm

dimplak έγραψε:5.

2 ( x^2 + 2) = 5 \sqrt{x^3 + 1}
\displaystyle 2 [(x+1) + (x^2 - x + 1)] = 5 \sqrt{(x+1)(x^2 - x + 1)} \Leftrightarrow 2 \left(a + \frac{1}{a} \right) = 5 όπου \displaystyle a = \sqrt{\frac{x+1}{x^2 - x + 1}} (επιτρεπτό γιατί x \neq -1).

Έτσι a \in \{ 2, 1/2 \}. Η περίπτωση a = 2 δεν δίνει αποδεκτές λύσεις (4x^2 - 5x + 3 = 0), ενώ η περίπτωση a = 1/2 δίνει x^2 - 5x - 3 = 0 οπότε \displaystyle x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2} (αποδεκτές και οι δύο αφού είναι μεγαλύτερες του -1).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 18, 2016 1:16 pm

dimplak έγραψε:1.

\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση! ;)
Θέτουμε
x+24=a\geq 0, b=12-x\geq 0, a+b=36

H δοθείσα εξίσωση γράφεται

\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}=6\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt{36-a}=6\Leftrightarrow \sqrt{36-a}=6-\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a}-12=0,\sqrt[3]{a}=w, w^{2}+w-12=0\Rightarrow w=3>0,a=27,x=3,  
a=0,x=-24
Επαληθεύουν και οι δυο τιμές
Σχόλιο
Στις περιπτώσεις κυβικών ριζών και γενικά με τάξεις περιττούς τα υπόριζα θα είναι θετικά η μηδέν ; Είχαμε κάνει κάποια συζήτηση..αλλά τρέχα βρέστει ....


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 18, 2016 1:30 pm

dimplak έγραψε:1.

\sqrt[3]{x+24} + \sqrt{12 - x} = 6

Υ.Γ. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο κομψές λύσεις εκτός από την ... ευθεία λύση! ;)
Κάτι παρόμοιο

Έστω \displaystyle{x + 24 = {t^3} \geqslant 0 \Rightarrow 12 - x = 36 - {t^3} \geqslant 0} και η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\sqrt {36 - {t^3}}  = 6 - t\mathop  \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant t \leqslant \sqrt[3]{{36}}} t({t^2} + t - 12) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = 3 \vee t =  - 4}

Η τελευταία ρίζα απορρίπτεται και από τις δύο πρώτες παίρνουμε αντίστοιχα \boxed{x=-24} ή \boxed{x=3}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 18, 2016 6:40 pm

dimplak έγραψε:4.

\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1
Μήπως υπάρχει τυπογραφικό; Έχω την εντύπωση ότι δεν έχει λύση.

Όταν πήγαινα σχολείο η x=1 θα ήταν δεκτή λύση. Τότε δεν υπήρχαν περιορισμοί στις κυβικές ρίζες και γράφαμε \displaystyle{\sqrt[3]{{ - 8}} =  - 2}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3119
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 18, 2016 7:27 pm

Ο Doloros έγραψε
Επειδή όμως το άθροισμα των δύο ριζικών είναι 6 αναγκαστικά κάθε ριζικό πρέπει να δίδει ακέραιο αριθμό ,

Γεια σου σύντεχνε.
Για κάτι τέτοια σε κλείνουν μέσα.
Την γλυτώνεις για δύο λόγους.
Είσαι Κρητικός και το σπουδαιότερο φοβερός Γεωμέτρης.


dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τρί Οκτ 18, 2016 7:35 pm

george visvikis έγραψε:
dimplak έγραψε:4.

\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1
Μήπως υπάρχει τυπογραφικό; Έχω την εντύπωση ότι δεν έχει λύση.

Όταν πήγαινα σχολείο η x=1 θα ήταν δεκτή λύση. Τότε δεν υπήρχαν περιορισμοί στις κυβικές ρίζες και γράφαμε \displaystyle{\sqrt[3]{{ - 8}} =  - 2}
Καλησπέρα κ. Γιώργο!

Συγγνώμη για την απροσεξία αλλά ναι στο εξωτερικό δέχονται την αρνητική κυβική ρίζα όπως εδώ παλιά!

Όμως, για να μην υπάρξει θέμα απλά ας βάλουμε \sqrt[3]{|x - 9|} και αν πάρουμε περιπτώσεις! Νομίζω πως έτσι λύνεται με τον ίδιο

τρόπο το πρόβλημα!

Φιλικά,

Δημήτρης


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Οκτ 18, 2016 9:28 pm

dimplak έγραψε:3.

\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{2x^2 + 4x + 3} = 2x + 1
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Πρέπει κατ΄αρχήν x^{2}-1\geq 0 \Leftrightarrow x\leq -1 , x\geq 1 .
Εξ΄άλλου το τριώνυμο μέσα στην δεύτερη ρίζα έχει αρνητική διακρίνουσα, συνεπώς είναι πάντα θετικό.
Επίσης πρέπει x\geq -\dfrac{1}{2}.
Συναληθεύοντας τους παραπάνω περιορισμούς προκύπτει x\geq 1 .

Αν x>1 υψώνοντας στο τετράγωνο την δοθείσα έχουμε:

x^{2}-1+2x^{2}+4x+3 +2\sqrt{x^{2}-1}\sqrt{2x^{2}+4x+3}=4x^{2}+4x+1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-1}\sqrt{2x^{2}+4x+3}=x^{2}-1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^{2}+4x+3}=\sqrt{x^{2}-1} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 7x^2+16x+13=0.

Η τελευταία δευτεροβάθμια εξίσωση είναι αδύνατη αφού έχει αρνητική διακρίνουσα.

Επομένως μοναδική λύση είναι η x=1.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 18, 2016 9:58 pm

dimplak έγραψε:3.

\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{2x^2 + 4x + 3} = 2x + 1
Kαλησπέρα

Παρατηρώ ότι 2x+1=\sqrt{(2x+1)^{2}}=\sqrt{(2x^{2}+4x+3)+2(x^{2}-1)},2x+1\geq 0
Αρα η εξίσωση γράφεται \sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{2x^{2}+4x+3}=\sqrt{(2x^{2}+4x+3)+2(x^{2}-1)},x\geq 1
Οπότε υποδεικνύεται η αντικατάσταση

a=\sqrt{x^{2}-1},b=\sqrt{2x^{2}+4x+3} και η εξίσωση γίνεται
a+b=\sqrt{2a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow 2ab=a^{2}\Leftrightarrow a=0,a=2b,  
 
a=0\Leftrightarrow x=1,x=-1, 
 
 
 
  
 
 a=2b\Leftrightarrow 7x^{2}+16x+13=0,\Delta <0
Tελικα η λύση είναι x=1


Γιάννης


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Τετ Οκτ 19, 2016 6:02 pm

dimplak έγραψε:4.

\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x - 1} + 1
Καλησπέρα!

Μετά την επισήμανση του κ. Βισβίκη , αλλάζω τη διατύπωση της εξίσωσης: 2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x}   = \sqrt{5x - 1} + 1.

Υ.Γ. Θα βάλω λύση αργότερα!


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Τετ Οκτ 19, 2016 11:55 pm

dimplak έγραψε: Μετά την επισήμανση του κ. Βισβίκη , αλλάζω τη διατύπωση της εξίσωσης: 2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x}   = \sqrt{5x - 1} + 1.
Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν \frac{1}{5}\leq x\leq 9.

2x^2 + 3x - \sqrt[3]{9 - x}   = \sqrt{5x - 1} + 1 \Leftrightarrow

(2x^2 -2)+ (3x-3)+\left(2 - \sqrt[3]{9 - x} \right)= \sqrt{5x - 1} -2  \Leftrightarrow

2(x -1)(x+1)+ 3(x-1)+\dfrac{x-1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}}  = \dfrac{5(x-1)}{\sqrt{5x - 1} +2}  \Leftrightarrow

(x-1)\left[2x+5+\dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}} - \dfrac{5}{\sqrt{5x - 1} +2} \right] =0 \Leftrightarrow

x=1

Η συνάρτηση f(x)=2x+5+\dfrac{1}{4+2\sqrt[3]{9 - x}+\sqrt[3]{(9 - x)^2}} - \dfrac{5}{\sqrt{5x - 1} +2} , \; x\in\left[\frac{1}{5},9\right]

είναι γνησίως αύξουσα οπότε f(x)\geq f\left(\frac{1}{5}\right)>0


Στράτης Αντωνέας
dimplak
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 5:24 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimplak » Πέμ Οκτ 20, 2016 9:55 am

dimplak έγραψε:2.

4 x^2 - 7x + 3 = (x+1) \sqrt{2x^2 + 4x - 3}
Πρέπει 2x^2 + 4x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty , - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} ] \cup [ - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} , + \infty) .

Για x = - 1 η εξίσωση δεν αληθεύει , άρα για x \ne - 1 έχουμε:

\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1} = \sqrt{2x^2 + 4x - 3}  \Leftrightarrow

\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1}-(ax+b) =  \sqrt{2x^2 + 4x - 3}-(ax+b) \Leftrightarrow

\frac{4 x^2 - 7x + 3 - (ax + b)(x+1)}{x+1} = \frac{2x^2 + 4x - 3 - (ax+b)^2}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} \Leftrightarrow

\frac{(4 -a)x^2 + (-7 -a - b)x + (3-b)}{x+1} = \frac{(2 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x + (-3 - b^2)}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} (1).

Θέτουμε: \frac{4 - a}{2 - a^2} = \frac{-7 - a - b}{4 - 2ab} = \frac{3 - b}{-3 - b^2} = k και προκύπτει το σύστημα

\begin{cases} ka^2 - a + 4 - 2k = 0 \\ 7 + a + b = k(2ab - 4) \\ kb^2 - b + 3 + 3k = 0 \end{cases} με λύσεις k=-1, a = 2 , b=-1 .

Τότε (1) \Leftrightarrow  \frac{2x^2 - 8x +4}{x+1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  \frac{-2x^2 + 8x - 4}{-x -1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow

\begin{cases} -2x^2 + 8x - 4 = 0 \\ \sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1 = -1 -x \end{cases} \Leftrightarrow

\begin{cases} x = 2 \pm \sqrt{2} \\ 7x^2 - 4x + 3 = 0 (x \le 0) \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2} .

Επειδή πρέπει x \in (- \infty , - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} ] \cup [ - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} , + \infty) , δεκτή είναι μόνο η λύση x = 2 - \sqrt{2}.
τελευταία επεξεργασία από dimplak σε Πέμ Οκτ 20, 2016 10:15 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες