Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 03, 2017 9:09 pm

Να λυθεί η εξίσωση : \sqrt{2x+7}=x+2 ( Παράδειγμα από το σχολικό βιβλίο )

Απάντηση Α : Πρέπει : x\geq-3.5 και επίσης το δεύτερο μέλος πρέπει να είναι μη αρνητικό , οπότε έχουμε :

x\geq -2 . Τότε : \sqrt{2x+7}=x+2\Leftrightarrow ...  x=-3 , \dot{\eta } ,  x=1 και λόγω των περιορισμών , δεκτή είναι μόνο η x=1

Απάντηση Β ( του σχολικού ) : Η εξίσωση ορίζεται για x\geq-3.5 και υψώνοντας στο τετράγωνο , βρίσκουμε

τις ρίζες : x=-3 , \dot{\eta } ,  x=1 . Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι μόνο η x=1 είναι δεκτή .

Απάντηση Γ : ( χωρίς λήψη περιορισμών ) : Έστω x μια ρίζα της εξίσωσης τότε : \sqrt{2x+7}=x+2

\Rightarrow .. x=-3 , \dot{\eta } ,  x=1 . Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι μόνο η x=1 είναι δεκτή .

Όταν ήμουν νέος καθηγητής επέμενα στον πρώτο τρόπο λύσης ( λήψη όλων των περιορισμών

και λύση με ισοδυναμίες ) . Στην πορεία λόγω του (*) υιοθέτησα τον δεύτερο τρόπο .

Επειδή όμως η λήψη περιορισμών , αφού ούτως ή άλλως θα κάνουμε επαλήθευση των ριζών ,

φαντάζει περιττή , τείνω να δείξω την προτίμησή μου στο τρίτο τρόπο , ο οποίος είναι ο πλέον

συνήθης στους Μαθηματικούς διαγωνισμούς .

(*) Αν θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση : \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+5} , τότε για x\geq -1.5 εξασφαλίζουμε

ότι τα δύο μέλη είναι θετικά αλλά δυστυχώς από τις δύο ρίζες που βρίσκουμε τετραγωνίζοντας

( x=-1 , x=11 ) , δεκτή είναι μόνο η x=11 . Φυσικά θα μπορούσαμε να πάρουμε επιπλέον

τον περιορισμό : \sqrt{2x+3}>\sqrt{x+5} , δηλαδή x>2 , αλλά το πράγμα πλέον περιπλέκεται ....

Το θέμα έχει βέβαια ξανασυζητηθεί , ίσως όμως του αξίζει λίγο ακόμη ενδιαφέρον !

Αν θέλετε αναφέρατε ποιον τρόπο προτιμάτε ... ( Διορθώθηκε η λύση του (*) )
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Μαρ 03, 2017 10:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2711
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Μαρ 03, 2017 9:52 pm

Καλησπέρα σας!

Συνεχίζοντας το παραπάνω θέμα, δείτε άλλα σχετικά θέματα εδώ κι εδώ.

Στην πρόσφατη ημερίδα της Ε.Μ.Ε. Λάρισας, ο κ. Θωμαΐδης ξαναέθιξε το θέμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 57
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Παρ Μαρ 03, 2017 10:32 pm

Νομίζω κάποιο λάθος έγινε στη λύση του παραδείγματος (*). Η λύση είναι x=11 και ο περιορισμός μετά την δεύτερη ύψωση των μελών στο τετράγωνο είναι x\geq 3. Η δεύτερη λύση x=-1 δεν περνάει από αυτόν τον περιορισμό.


margk
Δημοσιεύσεις: 251
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Παρ Μαρ 03, 2017 10:59 pm

Εγώ θα έλεγα και τον εξης τροπο
α) περιορισμούς για υπορριζο.
β) δυο περιπτωσεις για το δεύτερο μέλος : αρνητικό οποτε η εξισωση είναι αδύνατη και μεγαλυτερο η ίσο του μηδενός οποτε
υψώνουμε στο τετράγωνο τα δυο μέλη κτλ
Νομιζω οτι έτσι δείχνουμε συγχρόνως και τον τροπο για αρρητες ανισωσεις.


MARGK
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 04, 2017 12:29 am

Παροτρύνω τους μαθητές μου να χρησιμοποιούν τον Α τρόπο. Ωστόσο όταν πρόκειται για προσωπική χρήση, προτιμώ τον Γ. Σε κάθε περίπτωση, θεωρώ την επαλήθευση απαραίτητη.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 04, 2017 10:47 am

Καλημέρα σε όλους.

Ας προτείνω τη μέθοδο που προκρίνω για τη διδασκαλία της ενότητας αυτής.

Ξεκινώ με την επίλυση (κατά γράμμα) του παραδείγματος.
04-03-2017 Άρρητες.jpg
04-03-2017 Άρρητες.jpg (54.56 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές
Κατόπιν ζητώ σχολιασμό της έκφρασης: "Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει…".
Οδηγώ τη συζήτηση στο συμπέρασμα:

Με την προϋπόθεση ότι A(x), B(x)\in R η εξίσωση \displaystyle \sqrt {A\left( x \right)}  = B\left( x \right) ισοδυναμεί με το σύστημα: \displaystyle A\left( x \right) = {B^2}\left( x \right)\;\;\; \wedge \;\;B\left( x \right) \ge 0 .

Τονίζω ότι αν είναι εύκολο να επιλυθεί η ανίσωση \displaystyle B\left( x \right) \ge 0 , προχωράμε έτσι.

Π.χ.

Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle \sqrt {2x + 7}  = x + 2

Για να ορίζεται η παράσταση \displaystyle \sqrt {2x + 7} πρέπει \displaystyle x \ge  - 3.5 .

Αν \displaystyle  - 3,5 \le x <  - 2 η εξίσωση είναι αδύνατη (αφού το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, ενώ το δεύτερο είναι αρνητικό).
Αν \displaystyle x \ge  - 2 , τότε τετραγωνίζουμε ισοδύναμα, αφού τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά.
\displaystyle \sqrt {2x + 7}  = x + 2 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x =  - 3\;\;\; \vee \;\;x = 1 και λόγω των περιορισμών , δεκτή είναι μόνο η x = 1.

Εδώ η επαλήθευση στην αρχική δεν είναι απαραίτητη, αφού οι μετασχηματισμοί μας είναι ισοδύναμοι.


Αυτό το κάνω επιδιώκοντας να κατανοήσουν οι μαθητές το λόγο για τον οποίο γίνεται έλεγχος επαλήθευσης των ριζών.
Πριν απαλλαγούμε από την "τυραννία των αρχικών περιορισμών", πρέπει να την κατανοήσουμε, κι όχι να μάθουν να κάνουν μηχανικές κινήσεις. Μερικά τέτοια παραδείγματα και αντιπαραδείγματα είναι απαραίτητα.

Αν η διαδικασία εύρεσης των αρχικών περιορισμών είναι είναι πολύπλοκη και χρονοβόρα (κι η ζωή είναι μικρή, όπως έλεγε ο Ν. Μαυρογιάννης πριν 8 χρόνια) ή ακόμα αδύνατη, τότε υποθέτουμε ότι υπάρχει x_0 \in R που να επαληθεύει την αρχική (δίχως να το αναζητήσουμε) και κατόπιν με κατάλληλους μετασχηματισμούς την οδηγούμε σε επιλύσιμη μορφή.

Επειδή το σύνολο των ριζών της αρχικής είναι υποσύνολο του συνόλου των ριζών της επιλύουσας, με έλεγχο εντοπίζουμε τις δεκτές λύσεις, αν υπάρχουν.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 04, 2017 7:29 pm

Συμπληρώνοντας την προηγούμενη ανάρτηση, να προσθέσω ότι η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε (εύρεση των περιορισμών στους διαδοχικούς μετασχηματισμούς ή επαλήθευση στην αρχική των λύσεων της επιλύουσας εξίσωσης) επιλέγεται με βάση την ιδιαίτερη μορφή κάθε περίπτωσης. Πιστεύω ότι καλύτερα είναι να βρούμε τις λύσεις και κατόπιν αποφασίζουμε τι μάς συμφέρει...

Π.χ. για την επίλυση της εξίσωσης \displaystyle \sqrt {x + 3}  + \sqrt {2x - 1}  = 4, που παρουσιάστηκε από τον Γιάννη Θωμαΐδη στην ημερίδα της Λάρισας (βλέπε στον υπερσύνδεσμο του Αχιλλέα, παραπάνω), τι θα επιλέγατε;


Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 835
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Σάβ Μαρ 04, 2017 7:56 pm

Για ασκήσεις με απλούς περιορισμούς προτείνω τον 1ο τρόπο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις τον 2ο.
Για την άσκηση του Γιάννη Θωμαΐδη με χιούμορ αλλά και σκεπτικισμό την παρακάτω λύση με τον 3ο τρόπο :D


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άρρητες ( σχολικές ) εξισώσεις

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 05, 2017 6:25 pm

apotin έγραψε:Για ασκήσεις με απλούς περιορισμούς προτείνω τον 1ο τρόπο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις τον 2ο.
Για την άσκηση του Γιάννη Θωμαΐδη με χιούμορ αλλά και σκεπτικισμό την παρακάτω λύση με τον 3ο τρόπο :D
Καλησπέρα σε όλους:

Παρατηρήστε ότι το πρόγραμμα SYMBOLAB δε βρίσκει καμμία δυσκολία στο να επαληθεύσει τις όμορφες :mrgreen: ρίζες της εξίσωσης και να αποφανθεί σε κλάσματα δευτερολέπτου για το ποια είναι αποδεκτή και ποια όχι.
04-03-2017 Άρρητες b.jpg
04-03-2017 Άρρητες b.jpg (42 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές
Σε κανένα βήμα δεν παίρνει περιορισμούς, απλά αξιοποιεί την υπολογιστική ισχύ των επεξεργαστών. Θυμάμαι τα πρώτα χρόνια που αξιοποιούσαμε τα μηχανήματα (π.χ. το πρόγραμμα DERIVE σε περιβάλλον DOS) ο Turbo-x υπολογιστής μας (με επεξεργαστή 8088) ήθελε ένα δυο λεπτά να δώσει αποτέλεσμα. "Το σκέφτεται", λέγαμε τότε. Τώρα πια δεν το σκέφτονται καθόλου.

Τίθεται το ΕΡΩΤΗΜΑ:

Μήπως τελικά να αφήσουμε τα μηχανήματα να λύνουν τις εξισώσεις, τις ανισώσεις, να παραγωγίζουν, να ολοκληρώνουν, να σχεδιάζουν τις παραστάσεις κι εμείς απλά να αξιοποιούμε τα αποτέλεσματά τους για να οδηγούμαστε σε κατάλληλα συμπεράσματα;

Μη ξεχνάτε ότι οι γηραιότεροι ημών διδαχτήκαμε υπολογισμό λογαρίθμων και εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας (εντάξει... τη γενιά μας (*) ξόφαλτσα μάς πήρε...).
(*) Η γενιά που έδωσε εξετάσεις εισαγωγικές σε Γυμνάσιο και σε Λύκειο και τής έκατσε και η διαρροή θεμάτων το 1979).

Σίγουρα, σύντομα θα οδηγηθούμε σε αυτές τις οδούς. Πρέπει όμως συντεταγμένα. Να αντικαταστήσουμε αυτήν την ύλη με κάτι πιο χρήσιμο. Να γνωρίζουν οι μαθητές τι σημαίνει "Υπάρχει" και "Για κάθε". Πότε και γιατί βάζουμε περιορισμούς, πώς δουλεύμε με ισοδυναμίες και με συνεπαγωγές. Να μη χάσουμε το χρόνο μας με προβλήματα μηδενικού περιεχομένου (nontext problems), όπου απλά δυσκολεύουμε τους μαθητές με ανούσιες πράξεις.

Παρατηρώ ότι πολλές φορές οι μαθητές στην τάξη όταν έχουν να κάνουν ακόμα και απλές πράξεις, το χέρι τους χαϊδεύει τη τσέπη αναζητώντας το (αυστηρά απαγορευμένο στο Γυμνάσιο μας) κινητό τους για να κάνουν τους υπολογισμούς. Όταν με ρωτούν "γιατί να μη διδάσκει το σχολείο απλά και μόνο να χρησιμοποιούμε τα calculators για πράξεις και σχήματα", τους εξηγώ με αφοπλιστική μελλοντολογία ότι "αν κάνουμε κάτι τέτοιο, σύντομα η ανθρωπότητα θα ξεχάσει τη γνώση που μάς άφησαν οι πρόγονοί μας να κατασκευάζουμε νέα calculators". Κι αν αντιμιλήσουν: "Δηλαδή εμείς εδώ στο Β3, θα σώσουμε την ανθρωπότητα;", τους απαντώ κοιτώντας το άπειρο: "Θά 'μουν περήφανος, σα δάσκαλός αν συμβεί κάτι τέτοιο." Εκεί σταματά η κουβέντα, αφού έχουν πια καταλάβει ποιο είναι το αναπόφευκτο μέλλον τους (τουλάχιστον το άμεσο): (Να μη χρησιμοποιήσουν κομπιουτεράκι ούτε σ' αυτό το tets).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης