Άρρητη εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Άρρητη εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Μαρ 05, 2017 3:08 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση \sqrt {8{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1}  = 2{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1


Ηλίας Καμπελής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4674
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Άρρητη εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μαρ 05, 2017 5:50 pm

Έστω ότι υπάρχει \displaystyle x \in R που επαληθεύει την \displaystyle \sqrt {8{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1}  = 2{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 (1).

Τότε η (1) γράφεται

\displaystyle \sqrt {8{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1}  = 2{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \Leftrightarrow

\displaystyle \sqrt {\left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}  = {x^3} + {\left( {x + 1} \right)^3} (2)

Το υπόρριζο ορίζεται για \displaystyle x \ge \frac{1}{2} ή για \displaystyle x =  - \frac{1}{2}
Για αυτές τις τιμές του x τετραγωνίζουμε ισοδύναμα αφού και τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι μη αρνητικά.

(2) \displaystyle  \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 1} \right){{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  = {x^3} + {\left( {x + 1} \right)^3} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 1} \right)} \left( {2x + 1} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)

Η τιμή \displaystyle x =  - \frac{1}{2} την επαληθεύει.
Για \displaystyle x \ge \frac{1}{2} έχουμε \displaystyle \sqrt {\left( {2x - 1} \right){{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  = {x^3} + {\left( {x + 1} \right)^3} \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2 = 0 , που είναι αδύνατη.


Διόρθωσα ένα λάθος που είχα κάνει με την διακριτική υπόδειξη του Ηλία.

2ο edit (20:34) Μες στην πολύ σκοτούρα, απαντώντας σε άσκηση του Ηλία, αναφερόμουν στον Αποστόλη, ξέχασα και μια λύση και ψιλοανακάτεψα τη συζήτηση. Ζητώ συγνώμμη!
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Μαρ 05, 2017 8:36 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άρρητη εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 05, 2017 6:29 pm

Γιώργο σωστός είσαι.

Απλά ο άλλος Γιώργος (Ρίζος) ξέχασε ότι το υπόρριζο έχει νόημα για x=-\frac{1}{2}

Συμπλήρωμα.
Εγω δεν έκανα καμία διακριτική υπόδειξη.Απλά επιβεβαίωσα την υπόδειξη κάποιου μέλους .
(δεν αναφέρομαι στο όνομα του γιατί μετά από λίγο η δημοσίευση του διεγράφη)
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Κυρ Μαρ 05, 2017 6:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9585
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άρρητη εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 05, 2017 6:40 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Γιώργο σωστός είσαι.

Απλά ο άλλος Γιώργος (Ρίζος) ξέχασε ότι το υπόρριζο έχει νόημα για x=-\frac{1}{2}
Γεια σου Σταύρο

Εξηγώ ότι είχα γράψει πως η ρίζα \displaystyle{x =  - \frac{1}{2}} είναι δεκτή. Στη συνέχεια διέγραψα την ανάρτηση, οπότε τώρα

θεώρησα ότι πρέπει να δώσω κάποια εξήγηση για να μη φανεί ότι απαντάς σε κάτι που δεν υπάρχει :D


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5493
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μαρ 05, 2017 10:22 pm

Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης, μετά την διαπίστωση ότι η υπόρριζη ποσότητα είναι η {\left( {2x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right),
είναι το A = \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\} \cup \left[ {\frac{1}{2},\, + \infty } \right), με την τιμή - \frac{1}{2} να είναι λύση της εξίσωσης, επειδή την επαληθεύει.
Μετά ταύτα παίρνουμε προς λύση την εξίσωση 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x - 1}  = 4{x^3} + 6{x^2} + 6x + 2,\;x \in \left[ {\frac{1}{2},\, + \infty } \right), ή την {\left( {2x + 1 - \sqrt {2x - 1} } \right)^2} + 4{x^3} + 2{x^2} + 2 = 0,\,\;x \in \left[ {\frac{1}{2},\, + \infty } \right), που είναι αδύνατη αφού
x \in \left[ {\frac{1}{2},\, + \infty } \right) \Rightarrow {\left( {2x + 1 - \sqrt {2x - 1} } \right)^2} + 4{x^3} + 2{x^2} + 2 > 0.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης