Τριγωνομετρικά ακρότατα

KARKAR · #1

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\cos2x+2 \cos x$

Christos.N · #2

Καλημέρα

$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = \cos 2x + 2\cos x = 2{\cos ^2}x + 2\cos x - 1 = 2{\left( {\cos x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{6}{4}\\ \\ 0 \le |\cos x + \frac{1}{2}| \le |\cos x| + \frac{1}{2} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow \\ 0 \le {\left( {\cos x + \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4} \Rightarrow - \frac{6}{4} \le 2{\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{6}{4} \le 3 \Rightarrow - \frac{3}{4} \le f\left( x \right) \le 3\\ \\ {f_{\min }}\left( x \right) = - \frac{6}{4} \Rightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = k\pi - \frac{{2\pi }}{3}\\ x = k\pi + \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.,k \in Z\\ {f_{\max }}\left( x \right) = 3 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi ,k \in Z \end{array}}$

: Καταγραφή.PNG (7.75 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

#3

KARKAR έγραψε:Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\cos2x+2 \cos x$

● $\displaystyle{f(x) = \cos 2x + 2\cos x \le 1 + 2 = 3 \Leftrightarrow }$ $\boxed{f(x)\le 3}$ και επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{x = 2k\pi ,k \in Z}$

● $\displaystyle{f(x) = 2{\cos ^2}x + 2\cos x - 1}$ , που ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο παίρνει ελάχιστη τιμή $-\dfrac{3}{2}$ για $\displaystyle{\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2k\pi \pm \frac{{2\pi }}{3}}$

Έτσι, $\boxed{ - \frac{3}{2} \le f(x) \le 3}$

Με πρόλαβε ο Χρήστος, το αφήνω.

Τριγωνομετρικά ακρότατα

Τριγωνομετρικά ακρότατα

Re: Τριγωνομετρικά ακρότατα

Re: Τριγωνομετρικά ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση