Λογαριθμική με παράμετρο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Λογαριθμική με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Απρ 21, 2017 10:46 pm

Για κάθε τιμή του a να βρείτε όλες τις τιμές του x, που ικανοποιούν την εξίσωση

\log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{x} - \log_{5} a.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Λογαριθμική με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Απρ 23, 2017 12:36 am

Al.Koutsouridis έγραψε:Για κάθε τιμή του a να βρείτε όλες τις τιμές του x, που ικανοποιούν την εξίσωση

\log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{x} - \log_{5} a.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Έχουμε τους περιορισμούς : a >0 , x > 0 και \dfrac{(x+1)^2}{x} - a >0 \Leftrightarrow x^2 + (2-a) x + 1 > 0 .
Είναι τριώνυμο με \Delta = a(a-4) . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
i) \Delta < 0 \Leftrightarrow 0 < a < 4 , οπότε x \in ( 0 , + \infty ).

ii) \Delta \geq 0 \Leftrightarrow a\geq 4 . Στην περίπτωση αυτή το τριώνυμο είναι θετικό \forall x \in \left ( 0, \dfrac{a-2 - \sqrt{a(a-4)}}{2} \right ]\cup \left [ \dfrac{a-2 + \sqrt{a(a-4)}}{2} ,+\infty \right ) .

Τώρα η δοθείσα εξίσωση ισοδυνάμως γράφεται : \log_{5} \left (\dfrac{(x+1)^2}{x}-a\right ) = \log_{5} \dfrac{(x+1)^2}{ax} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \dfrac{(x+1)^2}{x}-a = \dfrac{(x+1)^2}{ax} , αφού η λογαριθμική είναι 1-1.

Θέτοντας όπου t= \dfrac{(x+1)^2}{x} είναι t>0 οπότε προκύπτει : t-a =  \dfrac{t}{a} από όπου για a \neq 1 έχουμε t  =  \dfrac{a^2}{a-1} = c >0, και a>1.

Αντικαθιστώντας έχουμε: \dfrac{(x+1)^2}{x} = c \Leftrightarrow x^2 +(2-c) x +1 = 0, τριώνυμο .
Πρέπει \Delta  =  c^2 -4c =c(c-4)=  \dfrac{ a^2 (a-2)^2}{(a-1)^2}   \geq 0.

Συνεπώς έχουμε λύσεις : x_{1,2} = \dfrac{\dfrac{a^2}{a-1} -2\pm \dfrac{a|a-2|}{a-1} }{2}

από όπου για τις διάφορες τιμές του a>1 προκύπτουν οι : x_{1}= a-1 και x_{2} = \dfrac{1}{a-1} .

Όμως για a\geq 4 οφείλουμε να έξετάσουμε εάν x_{1}= a-1 >  \dfrac{a-2 + \sqrt{a(a-4)}}{2} \Leftrightarrow a >   \sqrt{a(a-4)} \Leftrightarrow 4a>0 , Ισχύει.

Επίσης x_{2} = \dfrac{1}{a-1} <  \dfrac{a-2 - \sqrt{a(a-4)}}{2} \Leftrightarrow 2+(a-1)\sqrt{a^2 -4a}< a^2-3a+2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (a-1)\sqrt{a^2 -4a}< a^2-3a\Leftrightarrow (a^2-2a+1)(a^2-4a)<a^4-6a^3+9a^2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -4a<0 ,Ισχύει.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Λογαριθμική με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 29, 2017 2:19 pm

Καλησπέρα,

Να ευχαριστήσω τον κ.Γλάρο για την ενασχόλησή του με το πρόβλημα.

Πάντως πιστεύω μπορούμε να αποφύγουμε την εξέταση των περιορισμών στην ανίσωση \dfrac{(x+1)^2}{x}-a > 0 που γίνεται στην αρχή και στο τέλος. Μπορούμε να προχωρήσουμε στην επίλυση της εξίσωσης

\dfrac{(x+1)^2}{x}-a = \dfrac{(x+1)^2}{ax}

που λόγω της θετικότητας του δευτέρου μέλους και τον περιορισμών x>0, a>0, η όποια λύση που θα προκύψει θα εγγυάται και την θετικότητα του πρώτου μέλους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης