Λογαριθμική εξίσωση

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Λογαριθμική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 21, 2017 11:31 am

Να επιλυθεί η εξίσωση:
\displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2)  + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Λογαριθμική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Ιούλ 22, 2017 12:34 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Να επιλυθεί η εξίσωση:
\displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2)  + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}}
Καλημέρα
Μια προσπάθεια εκτός φακέλου ...

Κατ΄αρχάς έχουμε περιορισμούς x\in (-2, - \frac{1}{2}) \cup  (0, + \infty) .

Είναι : \displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2)  + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow log_2(\sqrt{x+2})+(x+2)+1 -2\sqrt{x+2}= log_2\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right )+\left ( \dfrac{2x+1}{x}-1 \right )^2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow log_2(\sqrt{x+2})+(\sqrt{x+2}-1)^2 = log_2\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right )+\left ( \dfrac{2x+1}{x}-1 \right )^2 .

Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) = log_2 t+(t-1)^2 με t>0 .
Εδώ βγαίνω εκτός φακέλου...
H f είναι παραγωγίσιμη με f' (t)= \dfrac{(2ln2)t^2 - (2ln2) t +1 }{t ln2} .
Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής του κλάσματος είναι τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα.
Άρα f'(t) >0 , συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα, επομένως και 1-1.

Τελικά η εξίσωση ισοδυνάμως παίρνει την μορφή: f\left ( \sqrt{x+2} \right ) = f\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right ) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \sqrt{x+2} = \dfrac{2x+1}{x} (επειδή η f είναι 1-1) .

Υψώνοντας στο τετράγωνο και μετά από πράξεις έχουμε : x^3 -2x^2 -4x -1 =0.
Παραγοντοποίση με Horner κλπ. έχουμε τις ρίζες x_{1} =-1 και x_2 = \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}.
Οι παραπάνω επαληθεύουν την αρχική ενώ η αρνητική απορρίπτεται διότι είναι εκτός του διαστήματος \left ( -2, -\dfrac{1}{2} \right ).

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες