Διαμεσολάβηση

KARKAR · #1

: Διαμεσολάβηση.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1386 φορές

Οι πλευρές $\gamma,\beta , \alpha$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

Αφού δείξετε ότι για τις διαμέσους του τριγώνου ισχύει : $\mu_{\alpha} < \mu_{\beta} <\mu_{\gamma}$ , εξετάστε αν υπάρχει

περίπτωση να είναι και οι οι $\mu_{\alpha} , \mu_{\beta} ,\mu_{\gamma}$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 10:26 am
Διαμεσολάβηση.pngΟι πλευρές $\gamma,\beta , \alpha$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου .

Αφού δείξετε ότι για τις διαμέσους του τριγώνου ισχύει : $\mu_{\alpha} < \mu_{\beta} <\mu_{\gamma}$ , εξετάστε αν υπάρχει

περίπτωση να είναι και οι οι $\mu_{\alpha} , \mu_{\beta} ,\mu_{\gamma}$ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Οι πλευρές c, b, a

του τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου, οπότε έχουμε ότι:
$\displaystyle{2b=c+a \Leftrightarrow a=2b-c}$ και $\displaystyle{0<c<b<a}$ .
Ισχύουν οι σχέσεις:
$\displaystyle{\mu_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-(2b-c)^2}{4}=...=\frac{-2b^2+c^2+4bc}{4}}$ ,
$\displaystyle{\mu_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}=\frac{2(2b-c)^2+2c^2-b^2}{4}=...=\frac{7b^2+4c^2-8bc}{4}}$ ,
$\displaystyle{\mu_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{2(2b-c)^2+2b^2-c^2}{4}=...=\frac{10b^2+c^2-8bc}{4}}$ .
Τότε:
$\displaystyle{\mu_a<\mu_b<\mu_c \Leftrightarrow \mu_a^2<\mu_b^2<\mu_c^2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} < \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}<\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 2b^2+2c^2-a^2 <2a^2+2c^2-b^2 \\ 2a^2+2c^2-b^2 < 2a^2+2b^2-c^2 \end{matrix} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 3b^2<3a^2 \\ 3c^2<3b^2 \end{matrix}}$ , οι οποίες ισχύουν άρα και οι ζητούμενες.

Οι $\displaystyle{\mu_a,\mu_b,\mu_c}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:

$\displaystyle{\mu_a+\mu_c=2\mu_b \Leftrightarrow \mu_a^2+2\mu_a\mu_c+\mu_c^2=4\mu_b^2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{-2b^2+c^2+4bc}{4}+2\mu_a\mu_c+\frac{10b^2+c^2-8bc}{4}=4\frac{7b^2+4c^2-8bc}{4} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 2\mu_a\mu_c=5b^2-7bc+\frac{7c^2}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (2\mu_a\mu_c)^2=\left(- 5b^2-7bc+\frac{7c^2}{2}\right)^2 \Leftrightarrow }$ (το δεύτερο μέλος είναι θετικό-έχει αρνητική διακρίνουσα αν θεωρηθεί τριώνυμο ως προς

)

$\displaystyle{\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow -105b^4 + 294 b^3 c- 180 b^2 c^2 + 33 b c^3 - \frac{33c^4}{4}=0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow -\left( \frac{\sqrt{33}c^2}{2}-\sqrt{33}bc \right)^2-\left(\sqrt{147}bc -\sqrt{147}b^2\right)^2+42b^4=0 .}$

Με ύλη Γ΄ Λυκείου είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι έχει ρίζα (σταθεροποιούμε το b και θεώρημα Bolzano για το c).

Με ύλη Β΄ Λυκείου μόνο διαισθητικά το βλέπω και όχι με αυστηρή απόδειξη...

KARKAR · #3

Λευτέρη ευχαριστώ και σου εύχομαι χρόνια πολλά και άλλες επιτυχίες στην καριέρα σου !

Η διάταξη των διαμέσων ( που δεν έχει σχέση με το αν οι πλευρές είναι όροι αρ. προόδου ) ,

για : $\gamma<\beta < \alpha$ , είναι : $\mu_{\alpha} < \mu_{\beta} <\mu_{\gamma}$ , όπως δείχνεις στο μέσο του κειμένου σου .

Στη συνέχεια προτίμησα την αντικατάσταση των πλευρών a ,c

με

, (

η διαφορά )

και κατέληξα στις σχέσεις : $m_{a}^2=\dfrac{3b^2-6bt+t^2}{4} ,m_{b}^2=\dfrac{3b^2+4t^2}{4} ,m_{c}^2=\dfrac{3b^2+6bt+t^2}{4}$ .

Τετραγωνίζοντας τη σχέση : $m_{a}+m_{c}=2m_{b}$ , φθάνουμε στην : $m_{a}m_{c}=\dfrac{3b^2+12bt+t^2}{4}$

και με εκ νέου τετραγωνισμό , καταλήγουμε στη δευτεροβάθμια : 8t^2+73bt+24b^2=0

,

η οποία επειδή b>0

δίνει αναγκαστικά t<0

το οποίο έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση ,

άρα η απάντηση είναι όχι . Παρατήρηση : Είναι : $m_{c}^2-m_{a}^2=3bt$

Διαμεσολάβηση

Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Re: Διαμεσολάβηση

Μέλη σε σύνδεση