Πολυώνυμο!

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1623
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Πολυώνυμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm

Έστω P(x) πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το Q(x)=P(x)+12 έχει τουλάχιστον 6 ακέραιες ρίζες, το P(x) δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 45
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Πολυώνυμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιαν 06, 2018 8:20 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Έστω P(x) πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το Q(x)=P(x)+12 έχει τουλάχιστον 6 ακέραιες ρίζες, το P(x) δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.
Έστω ότι P(k)=0, k\in \mathbb{Z} και ότι Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_6)R(x) τότε αφού Q(x)=P(x)+12 τα Q(x),R(x) έχουν ακέραιους συντελεστές.Έχουμε ότι Q(k)=12\Rightarrow (k-r_1)(k-r_2)\cdots(k-r_6)R(k)=12 άτοπο αφού το 12 μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο το πολύ 5 διαφορετικών ακεραίων (1*(-1)*2*(-2)*3)


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1623
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Πολυώνυμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 06, 2018 9:24 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 8:20 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 6:29 pm
Έστω P(x) πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι αν το Q(x)=P(x)+12 έχει τουλάχιστον 6 ακέραιες ρίζες, το P(x) δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.
Έστω ότι P(k)=0, k\in \mathbb{Z} και ότι Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_6)R(x) τότε αφού Q(x)=P(x)+12 τα Q(x),R(x) έχουν ακέραιους συντελεστές.Έχουμε ότι Q(k)=12\Rightarrow (k-r_1)(k-r_2)\cdots(k-r_6)R(k)=12 άτοπο αφού το 12 μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο το πολύ 5 διαφορετικών ακεραίων (1*(-1)*2*(-2)*3)
:coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες