Διάταξη τιμών πολυωνύμου

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2820
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Διάταξη τιμών πολυωνύμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Φεβ 04, 2018 12:32 pm

Έστω το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει \displaystyle{P(P(x))=x^4-8x^2+12}. Να διατάξετε τις τιμές \displaystyle{P(\sqrt{3}), P(-3), P(1), P(-\sqrt{2})}.

Μια λύση είναι να βρεθεί το πολυώνυμο. Υπάρχει άραγε άλλη λύση;


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 799
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διάταξη τιμών πολυωνύμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 11, 2018 1:33 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Κυρ Φεβ 04, 2018 12:32 pm
Έστω το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει \displaystyle{P(P(x))=x^4-8x^2+12}. Να διατάξετε τις τιμές \displaystyle{P(\sqrt{3}), P(-3), P(1), P(-\sqrt{2})}.

Μια λύση είναι να βρεθεί το πολυώνυμο. Υπάρχει άραγε άλλη λύση;
Αν n ο βαθμός του P, τότε πρέπει n^2=4, δηλαδή n=2.

Έστω P(x)=ax^2+bx+c, με a\ne 0.

Τότε είναι a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c=x^4-8x^2+12.

Ο συντελεστής του x^3 στο πρώτο μέλος είναι 2a^2b, ενώ στο δεύτερο είναι 0.

Άρα αφού a\ne 0, έπεται πως b=0 (1).

Ταυτόχρονα ο συντελεστής του x^4 στο πρώτο μέλος είναι a^3, ενώ στο δεύτερο μέλος είναι 1. Άρα a=1 (2).

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το P είναι άρτια συνάρτηση και αύξουσα για x>0.

Επομένως έχουμε πως P(-3)=P(3) και P(-\sqrt{2})=P(\sqrt{2}).

Είναι λοιπόν P(3)>P(\sqrt{3})>P(\sqrt{2})>P(1), δηλαδή P(-3)>P(\sqrt{3})>P(-\sqrt{2})>P(1).


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες