Ισότητα σε τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Δείξατε ότι σε κάθε τρίγωνο ${\rm AB \Gamma}$ ισχύει η ισότητα:

$\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \hat{{\rm A}} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \hat{{\rm B}}+ \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \hat{\Gamma} = 3}$

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Είναι $\displaystyle \left( {\frac{\beta }{\gamma } + \frac{\gamma }{\beta }} \right)\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \left( {\frac{\gamma }{\alpha } + \frac{\alpha }{\gamma }} \right)\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \left( {\frac{\alpha }{\beta } + \frac{\beta }{\alpha }} \right)\sigma \upsilon \nu \Gamma =$

$\displaystyle = \left( {\frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu \Gamma }} + \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}}} \right)\sigma \upsilon \nu {\rm{{\rm A}}} + \left( {\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}}} + \frac{{\eta \mu {\rm A}}}{{\eta \mu \Gamma }}} \right)\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \left( {\frac{{\eta \mu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm B}}} + \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A}}}} \right)\sigma \upsilon \nu \Gamma =$

$\displaystyle = \left( {\frac{{\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B}}} + \frac{{\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm B}}}} \right) + \left( {\frac{{\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{\eta \mu \Gamma }} + \frac{{\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\eta \mu \Gamma }}} \right) + \left( {\frac{{\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A}}} + \frac{{\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}}}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{{\eta \mu \left( {{\rm A} + \Gamma } \right)}}{{\eta \mu {\rm B}}} + \frac{{\eta \mu \left( {{\rm B} + {\rm A}} \right)}}{{\eta \mu \Gamma }} + \frac{{\eta \mu \left( {\Gamma + {\rm B}} \right)}}{{\eta \mu {\rm A}}} =$

$\displaystyle = \frac{{\eta \mu \left( {\pi - {\rm B}} \right)}}{{\eta \mu {\rm B}}} + \frac{{\eta \mu \left( {\pi - \Gamma } \right)}}{{\eta \mu \Gamma }} + \frac{{\eta \mu \left( {\pi - {\rm A}} \right)}}{{\eta \mu {\rm A}}}=$

$\displaystyle = \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm B}}} + \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu \Gamma }} + \frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}}} = 3$ .

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 27, 2018 9:48 pm
Δείξατε ότι σε κάθε τρίγωνο ${\rm AB \Gamma}$ ισχύει η ισότητα:

$\displaystyle{\left ( \frac{\beta}{\gamma} + \frac{\gamma}{\beta} \right ) \cos \hat{{\rm A}} + \left ( \frac{\gamma}{\alpha} + \frac{\alpha}{\gamma} \right ) \cos \hat{{\rm B}}+ \left ( \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \right ) \cos \hat{\Gamma} = 3}$

Άμεσο με απλές πράξεις από τον κανόνα των συνημιτόνων: Ο τυπικός προσθετέος είναι

$\displaystyle{ \frac {b^2+c^2}{bc} \cdot \frac {b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac {a^2(b^2+c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2a^2b^2c^2} = \frac {2a^2b^2c^2+ a^2b^4+a^2c^4-a^4b^2-a^4c^2}{2a^2b^2c^2}}$

Όμοια οι άλλοι δύο όροι. Τους προσθέτουμε. Θα μείνει $\displaystyle{ \frac {6a^2b^2c^2}{2a^2b^2c^2}=3}$

Ισότητα σε τρίγωνο

Ισότητα σε τρίγωνο

Re: Ισότητα σε τρίγωνο

Re: Ισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση