Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$ .

Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις!

Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

nikkru · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$ .

Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

.
Πάντα νίκες Ορέστη!
.
$A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ = \frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}$ .
.
Αν βρεθεί κανένας γενναίος και πληκτρολογήσει τις παραστάσεις της λύσης τον ευχαριστώ εκ των προτέρων, αλλιώς θα επανέλθω !

dement · #3

Δεν είμαι βέβαιος αν η λύση είναι σε επίπεδα Β Λυκείου, αλλά μια και απευθύνεται σε μεγάλους...

Ισχύει $\displaystyle \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \prod_{k=1}^{89} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right)}$

Τα $\displaystyle \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right)$ κάτω από τη ρίζα, μαζί με το

, είναι οι 179

ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle \frac{\sin (180x)}{\sin x}$ (ως προς $\cos x$ ). Χρησιμοποιώντας τον τύπο

$\sin [(n+1)x] + \sin[(n-1)x] = 2 \cos x \sin (nx)$

αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι το $\displaystyle \frac{\sin (nx)}{\sin x}$ είναι πολυώνυμο βαθμού n-1

με μεγιστοβάθμιο συντελεστή $2^{n-1}$ , σταθερό όρο $\displaystyle \cos \left( \frac{(n-1) \pi}{2} \right)$ και πρωτοβάθμιο συντελεστή

για

περιττό και $-(-1)^{n/2} n$ για

άρτιο.

Στην περίπτωσή μας, επειδή υπάρχει μία μηδενική ρίζα, βρίσκουμε το γινόμενο κάτω από τη ρίζα διαιρώντας τον πρωτοβάθμιο με τον μεγιστοβάθμιο συντελεστή. Έτσι, παίρνουμε $\displaystyle -\prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \frac{180}{2^{179}} \implies \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right)} = \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \frac{3 \sqrt{10}}{2^{89}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$ .

Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

Γεια σου Ορέστη.

Δεν ξέρω που την ξέθαψες αλλά είναι μέρος της άσκησης 4 σελ 194 στην

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ι.ΜΑΝΤΑ.

Πρέπει να υπάρχει και σε άλλα ''παλιά'' βιβλία Τριγωνομετρίας.

Ορέστης Λιγνός · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 21, 2018 10:46 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$ .

Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

Γεια σου Ορέστη.

Δεν ξέρω που την ξέθαψες αλλά είναι μέρος της άσκησης 4 σελ 194 στην

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ι.ΜΑΝΤΑ.

Πρέπει να υπάρχει και σε άλλα ''παλιά'' βιβλία Τριγωνομετρίας.

Ευχαριστώ τον nikkru και τον Δημήτρη για τις απαντήσεις τους!

Καλημέρα Σταύρο.

Η άσκηση είναι από εδώ.

Μου έκανε εντύπωση η φαντασία που έχει η λύση. Πραγματικά, ευρηματική!

#6

Όπως γράφει κι ο Σταύρος, η άσκηση αυτή υπήρχε στα παλιά βιβλία Τριγωνομετρίας, τότε που η τριγωνομετρία αποτελούσε

ξεχωριστό μάθημα και δινόταν στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, ως ξεχωριστό μάθημα. Το σκεπτικό της λύσης

είναι να χωρίσουμε το γινόμενο σε τριάδες, με χρήση της ταυτότητας: $\displaystyle \sin 3x = 4\sin x \cdot \sin ({60^0} - x) \cdot \sin ({60^0} + x)$

Έτσι, το γινόμενο γράφεται: $\displaystyle P = (\sin {1^0}\sin {59^0}\sin {61^0})(\sin {2^0}\sin {58^0}\sin {62^0})...(\sin {29^0}\sin {31^0}\sin {89^0})\sin {30^0}\sin {60^0}$

$\displaystyle P = \frac{{\sqrt 3 }}{{{4^{30}}}}(\sin {3^0}\sin {6^0}...\sin {87^0})$ , κλπ...

Βλέπω, όμως, ότι ήδη απάντησε ο Ορέστης. Το αφήνω.

#7

Υπάρχουν και γενικότεροι τύποι των οποίων ο παραπάνω είναι (πολλή) ειδική περίπτωση.

Τα παρακάτω υπάρχουν σε παλιές Τριγωνομετρίες, και συνήθως οι αποδείξεις είναι με χρήση Μιγαδικών μέσω του τύπου
$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$ .

Συγκεκριμένα, αρχίζοντας με την παράσταση $\displaystyle{x^{2n}- 2x^na^n \cos n\theta + a^{2n}}$ και λύνοντας πρώτα ως προς x^n

ώστε να την παραγοντοποιήσουμε, καταλήγουμε στην σχέση

$\displaystyle{\boxed {x^{2n}- 2x^na^n \cos n\theta + a^{2n} = \prod _{k=0}^{n-1} \left ( x^{2}- 2xa \cos \left ( \theta + \frac {2k\pi}{n} \right ) + a^{2} \right )}}$

Έτσι π.χ. για $a=1, \theta =0$ παίρνουμε

$\displaystyle{\boxed {(x^{n}-1)^2 = (x-1)^2\prod _{k=1}^{n-1} \left ( x^{2}- 2xa \cos \left (\frac {2k\pi}{n} \right ) + 1 \right )}}$

Άλλα σχεδόν άμεσα πορίσματα είναι τα

$\displaystyle{\boxed {\cos n \phi - \cos n \theta = 2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1} \left ( \cos \phi - \cos \left (\theta +\frac {2k\pi}{n} \right ) \right ) }}$

$\displaystyle{\boxed {\sin n \phi = 2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1} \sin \left (\phi +\frac {k\pi}{n} \right ) }}$

$\displaystyle{\boxed {n \cot n \phi = \prod _{k=0}^{n-1} \cot \left (\phi +\frac {k\pi}{n} \right ) }}$

nikkru · #8

nikkru έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 10:37 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση $A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ$ .

$A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ = \frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}$ .

Για να βρω την τιμή της παράστασης, χρησιμοποίησα τον τύπο $\eta \mu \frac{\pi }{\nu }\eta \mu \frac{2\pi }{\nu }\eta \mu \frac{3\pi }{\nu }\cdots \eta \mu \frac{(\nu -1)\pi }{\nu }=\frac{\nu }{2^{\nu -1}}$ (1)

.

Για $\nu =180$ είναι $A^{2}=\frac{180}{2^{179}}=\frac{90}{2^{178}}$ (αφού $\eta \mu \frac{\pi }{2}=1 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \eta \mu \frac{(\nu -\kappa )\pi }{\nu}=\eta \mu \frac{\kappa \pi }{\nu}$ )

Οπότε $A=\sqrt{\frac{90}{2^{178}}}=\frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}$ .

Η απόδειξη του τύπου (1)

γίνεται με τη βοήθεια του τύπου $\eta \mu 2\alpha=2\eta \mu \alpha \sigma \eta \mu \alpha$ .

Μια απόδειξη παραθέτει ο Ιωάννης Πανάκης στην άσκηση 33 της σελίδας 177 (Τριγωνομετρία 1, έκδοση 1973) χωρίς επαγωγή όπως ορθώς παρατήρησε ο κ. Λάμπρου στο επόμενο post.

#9

nikkru έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 21, 2018 2:31 pm
Για να βρω την τιμή της παράστασης, χρησιμοποίησα τον τύπο $\eta \mu \frac{\pi }{\nu }\eta \mu \frac{2\pi }{\nu }\eta \mu \frac{3\pi }{\nu }\cdots \eta \mu \frac{(\nu -1)\pi }{\nu }=\frac{\nu }{2^{\nu -1}}$ .

...

Η απόδειξη του τύπου γίνεται με επαγωγή και με τη βοήθεια του τύπου $\eta \mu 2\alpha=2\eta \mu \alpha \sigma \eta \mu \alpha$ .

.

Θα ήθελα να έβλεπα μια τέτοια επαγωγική απόδειξη.

#10

Καλησπέρα σας!
Πολύ όμορφη άσκηση, Ορέστη!

Κοιτάξτε και μια συζήτηση που είχε γίνει εδώ, πριν μερικά χρόνια...

Νίκος Κατσίπης

Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Μέλη σε σύνδεση