Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm

Να υπολογιστεί η παράσταση A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ.



Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! :lol: Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Απρ 20, 2018 10:37 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ.



Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! :lol: Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!
.
Πάντα νίκες Ορέστη!
.
A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ = \frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}.
.
Αν βρεθεί κανένας γενναίος και πληκτρολογήσει τις παραστάσεις της λύσης τον ευχαριστώ εκ των προτέρων, αλλιώς θα επανέλθω !


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Απρ 20, 2018 11:25 pm

Δεν είμαι βέβαιος αν η λύση είναι σε επίπεδα Β Λυκείου, αλλά μια και απευθύνεται σε μεγάλους...

Ισχύει \displaystyle \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \prod_{k=1}^{89} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right)}

Τα \displaystyle \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) κάτω από τη ρίζα, μαζί με το 0, είναι οι 179 ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle \frac{\sin (180x)}{\sin x} (ως προς \cos x). Χρησιμοποιώντας τον τύπο

\sin [(n+1)x] + \sin[(n-1)x] = 2 \cos x \sin (nx)

αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι το \displaystyle \frac{\sin (nx)}{\sin x} είναι πολυώνυμο βαθμού n-1 με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 2^{n-1}, σταθερό όρο \displaystyle \cos \left( \frac{(n-1) \pi}{2} \right) και πρωτοβάθμιο συντελεστή 0 για n περιττό και -(-1)^{n/2} n για n άρτιο.

Στην περίπτωσή μας, επειδή υπάρχει μία μηδενική ρίζα, βρίσκουμε το γινόμενο κάτω από τη ρίζα διαιρώντας τον πρωτοβάθμιο με τον μεγιστοβάθμιο συντελεστή. Έτσι, παίρνουμε \displaystyle -\prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \frac{180}{2^{179}} \implies \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right)} = \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \frac{3 \sqrt{10}}{2^{89}}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1949
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 21, 2018 10:46 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ.



Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! :lol: Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

Γεια σου Ορέστη.

Δεν ξέρω που την ξέθαψες αλλά είναι μέρος της άσκησης 4 σελ 194 στην

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ι.ΜΑΝΤΑ.

Πρέπει να υπάρχει και σε άλλα ''παλιά'' βιβλία Τριγωνομετρίας.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 21, 2018 12:22 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 10:46 am
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ.



Υ.Γ. Η άσκηση είναι για τους μεγάλους. Πρέπει να έχουν έναν καλό λόγο για να μείνουν στο σπίτι, γιατί στην ηλικία τους, δεν επιτρέπονται συγκινήσεις! :lol: Οι νεαροί, ραντεβού στο ΣΕΦ, μας χρειάζεται ο Θρύλος και ο Kill Bill!

Γεια σου Ορέστη.

Δεν ξέρω που την ξέθαψες αλλά είναι μέρος της άσκησης 4 σελ 194 στην

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1 του Ι.ΜΑΝΤΑ.

Πρέπει να υπάρχει και σε άλλα ''παλιά'' βιβλία Τριγωνομετρίας.
Ευχαριστώ τον nikkru και τον Δημήτρη για τις απαντήσεις τους!

Καλημέρα Σταύρο.

Η άσκηση είναι από εδώ.

Μου έκανε εντύπωση η φαντασία που έχει η λύση. Πραγματικά, ευρηματική!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7070
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 21, 2018 12:35 pm

Όπως γράφει κι ο Σταύρος, η άσκηση αυτή υπήρχε στα παλιά βιβλία Τριγωνομετρίας, τότε που η τριγωνομετρία αποτελούσε

ξεχωριστό μάθημα και δινόταν στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, ως ξεχωριστό μάθημα. Το σκεπτικό της λύσης

είναι να χωρίσουμε το γινόμενο σε τριάδες, με χρήση της ταυτότητας: \displaystyle \sin 3x = 4\sin x \cdot \sin ({60^0} - x) \cdot \sin ({60^0} + x)

Έτσι, το γινόμενο γράφεται: \displaystyle P = (\sin {1^0}\sin {59^0}\sin {61^0})(\sin {2^0}\sin {58^0}\sin {62^0})...(\sin {29^0}\sin {31^0}\sin {89^0})\sin {30^0}\sin {60^0}

\displaystyle P = \frac{{\sqrt 3 }}{{{4^{30}}}}(\sin {3^0}\sin {6^0}...\sin {87^0}), κλπ...


Βλέπω, όμως, ότι ήδη απάντησε ο Ορέστης. Το αφήνω.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10355
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 21, 2018 1:44 pm

Υπάρχουν και γενικότεροι τύποι των οποίων ο παραπάνω είναι (πολλή) ειδική περίπτωση.

Τα παρακάτω υπάρχουν σε παλιές Τριγωνομετρίες, και συνήθως οι αποδείξεις είναι με χρήση Μιγαδικών μέσω του τύπου
e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta.

Συγκεκριμένα, αρχίζοντας με την παράσταση \displaystyle{x^{2n}- 2x^na^n \cos n\theta + a^{2n}} και λύνοντας πρώτα ως προς x^n
ώστε να την παραγοντοποιήσουμε, καταλήγουμε στην σχέση

\displaystyle{\boxed {x^{2n}- 2x^na^n \cos n\theta + a^{2n} = \prod _{k=0}^{n-1} \left (  x^{2}- 2xa \cos  \left ( \theta + \frac {2k\pi}{n} \right ) + a^{2} \right )}}

Έτσι π.χ. για a=1, \theta =0 παίρνουμε

\displaystyle{\boxed {(x^{n}-1)^2 = (x-1)^2\prod _{k=1}^{n-1} \left (  x^{2}- 2xa \cos  \left (\frac {2k\pi}{n} \right ) + 1 \right )}}

Άλλα σχεδόν άμεσα πορίσματα είναι τα

\displaystyle{\boxed {\cos n \phi - \cos n \theta = 2^{n-1}\prod _{k=1}^{n-1} \left (  \cos \phi -  \cos  \left (\theta +\frac {2k\pi}{n} \right ) \right ) }}

\displaystyle{\boxed {\sin  n \phi  = 2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1} \sin   \left (\phi  +\frac {k\pi}{n} \right ) }}

\displaystyle{\boxed {n \cot  n \phi  = \prod _{k=0}^{n-1} \cot   \left (\phi  +\frac {k\pi}{n} \right ) }}


nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Απρ 21, 2018 2:31 pm

nikkru έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 10:37 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 2:22 pm
Να υπολογιστεί η παράσταση A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ.
A=\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \, \sin 89^\circ = \frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}.

Για να βρω την τιμή της παράστασης, χρησιμοποίησα τον τύπο \eta \mu \frac{\pi }{\nu }\eta \mu \frac{2\pi }{\nu }\eta \mu \frac{3\pi }{\nu }\cdots \eta \mu \frac{(\nu -1)\pi }{\nu }=\frac{\nu }{2^{\nu -1}} (1).

Για \nu =180 είναι A^{2}=\frac{180}{2^{179}}=\frac{90}{2^{178}} (αφού \eta \mu \frac{\pi }{2}=1 \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \eta \mu \frac{(\nu -\kappa )\pi }{\nu}=\eta \mu \frac{\kappa \pi }{\nu})

Οπότε A=\sqrt{\frac{90}{2^{178}}}=\frac{3\sqrt{10}}{2^{89}}.

Η απόδειξη του τύπου (1) γίνεται με τη βοήθεια του τύπου \eta \mu 2\alpha=2\eta \mu \alpha \sigma \eta \mu \alpha .

Μια απόδειξη παραθέτει ο Ιωάννης Πανάκης στην άσκηση 33 της σελίδας 177 (Τριγωνομετρία 1, έκδοση 1973) χωρίς επαγωγή όπως ορθώς παρατήρησε ο κ. Λάμπρου στο επόμενο post.
τελευταία επεξεργασία από nikkru σε Σάβ Απρ 21, 2018 7:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10355
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 21, 2018 4:56 pm

nikkru έγραψε:
Σάβ Απρ 21, 2018 2:31 pm
Για να βρω την τιμή της παράστασης, χρησιμοποίησα τον τύπο \eta \mu \frac{\pi }{\nu }\eta \mu \frac{2\pi }{\nu }\eta \mu \frac{3\pi }{\nu }\cdots \eta \mu \frac{(\nu -1)\pi }{\nu }=\frac{\nu }{2^{\nu -1}} (1).

...

Η απόδειξη του τύπου (1) γίνεται με επαγωγή και με τη βοήθεια του τύπου \eta \mu 2\alpha=2\eta \mu \alpha \sigma \eta \mu \alpha .
.

Θα ήθελα να έβλεπα μια τέτοια επαγωγική απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 754
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Σάβ Απρ 21, 2018 5:23 pm

Καλησπέρα σας!
Πολύ όμορφη άσκηση, Ορέστη!

Κοιτάξτε και μια συζήτηση που είχε γίνει εδώ, πριν μερικά χρόνια...


Νίκος Κατσίπης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης