Τριγωνομετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Για ποιές τιμές του

το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης

$\cos x- \sin 2x +\sin 4x = a(\cot x+2\cos 3x)$ ,

που ανήκουν στο διάστημα $\left [ \dfrac{3 \pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ , μεγιστοποιείται;

Chagi · #2

Καλημέρα σας.

Αρχικά θα πρέπει να βρούμε τις διαφορετικές ρίζες που προκύπτουν από τη δοσμένη εξίσωση.

Έχουμε:

$\cos x- \sin 2x +\sin 4x = a(\cot x+2\cos 3x)$ $\p$ φυσικά με $x\neq k\pi, k\in Z$

Το πρώτο μέλος είναι ίσο με: $\cos x- \sin 2x +\sin 4x = \cos x(1-6\sin x+8\sin x\cos^2 x)$ $\p$ ,

ενώ το δεύτερο $a(\cot x+2\cos 3x)=a\cos x (\frac{1+2\sin x - 8\sin^3 x}{\sin x})$

Άρα $\p$ $\cos x(1-6\sin x+8\sin x\cos^2 x)=a\cos x (\frac{1+2\sin x - 8\sin^3 x}{\sin x})$

Οπότε μία λύση είναι η $\p \cos x = 0$

Τις υπόλοιπες λύσεις θα τις αναζητήσουμε φυσικά στην εξίσωση :

$1-6\sin x+8\sin x\cos^2 x=a (\frac{1+2\sin x - 8\sin^3 x}{\sin x}) \Rightarrow$

$\sin x[1-6\sin x+8\sin x(1-\sin^2 x)]=a(1+2\sin x-8\sin^3 x) \Rightarrow$

$\sin x(1+2\sin x-8\sin^3 x)=a(1+2\sin x-8\sin^3 x) \Rightarrow$

$(1+2\sin x-8\sin^3 x)(\sin x-a)=0$

Άρα δεύτερη λύση προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης $\p 1+2\sin x-8\sin^3 x=0$ και τρίτη από την

$\sin x=a$

Παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτες λύσεις είναι ανεξάρτητες της παραμέτρου

και άρα το άθροισμα των ριζών τους στο διάστημα $\left [ \dfrac{3 \pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ είναι συγκεκριμένο.

Αρκεί, λοιπόν, να διερευνήσουμε την εξίσωση $\sin x=a$ στο αντίστοιχο διάστημα.

Για $a>1 \p$ ή $a<-1 \p$ η εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως $-1\leq a \leq 1$

Έστω $a=\sin \phi$

Στο διάστημα $\left [ \dfrac{3 \pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ ισχύουν τα εξής:

Αν $\frac{\pi}{4}<\phi<\frac{\pi}{2}$ η εξίσωση έχει έξι ρίζες

Αν $0<\phi \leq \frac{\pi}{4}$ ή $\pi<\phi<\frac{4\pi}{3} \p$ η εξίσωση έχει εφτά ρίζες

Αν $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει οχτώ ρίζες

Αν $\phi=\frac{\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει τρεις ρίζες, ενώ αν $\phi=\frac{3\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει τέσσερις ρίζες

Για $\phi=0$ η εξίσωση είναι αδύνατη λόγω του αρχικού περιορισμού οπότε $a\neq 0$

Τώρα από τις παραπάνω περιπτώσεις μεγαλύτερο άθροισμα ριζών έχουμε εκεί που οι ρίζες είναι περισσότερες.

Απόδειξη:

Έστω $\frac{\pi}{4}<\phi_1<\frac{\pi}{2}$ , $0<\phi_2 \leq \frac{\pi}{4}$

και $(s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6), \p (r_1, r_2, r_3, r_4, r_5, r_6, r_7)$ οι ρίζες τους αντίστοιχα

Παρατηρούμε ότι s_1-r_2=r_3-s_2, s_3-r_4=s_4-r_5, s_5-r_6=s_6-r_7

Άρα

Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι αυτό ισχύει και όταν $\sin \phi<0$

Μας μένει να δούμε τι γίνεται όταν $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$

Πάλι στηριζόμενοι στον τρόπο που προηγήθηκε δείχνουμε ότι για κάθε $\phi$ με $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$ οι ρίζες που προκύπτουν έχουν το ίδιο άθροισμα.

Συνεπώς, οι τιμές του

για τις οποίες μεγιστοποιείται το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της αρχικής εξίσωσης είναι:

$-1<a\leq \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Al.Koutsouridis · #3

Chagi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 12:52 pm
...

Αρκεί, λοιπόν, να διερευνήσουμε την εξίσωση $\sin x=a$ στο αντίστοιχο διάστημα.

Για $a>1 \p$ ή $a<-1 \p$ η εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως $-1\leq a \leq 1$

Έστω $a=\sin \phi$

Στο διάστημα $\left [ \dfrac{3 \pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ ισχύουν τα εξής:

Αν $\frac{\pi}{4}<\phi<\frac{\pi}{2}$ η εξίσωση έχει έξι ρίζες

Αν $0<\phi \leq \frac{\pi}{4}$ ή $\pi<\phi<\frac{4\pi}{3} \p$ η εξίσωση έχει εφτά ρίζες

Αν $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει οχτώ ρίζες

Αν $\phi=\frac{\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει τρεις ρίζες, ενώ αν $\phi=\frac{3\pi}{2} \p$ η εξίσωση έχει τέσσερις ρίζες

Για $\phi=0$ η εξίσωση είναι αδύνατη λόγω του αρχικού περιορισμού οπότε $a\neq 0$

Τώρα από τις παραπάνω περιπτώσεις μεγαλύτερο άθροισμα ριζών έχουμε εκεί που οι ρίζες είναι περισσότερες.

Απόδειξη:

Έστω $\frac{\pi}{4}<\phi_1<\frac{\pi}{2}$ , $0<\phi_2 \leq \frac{\pi}{4}$

και $(s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6), \p (r_1, r_2, r_3, r_4, r_5, r_6, r_7)$ οι ρίζες τους αντίστοιχα

Παρατηρούμε ότι

Άρα

Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι αυτό ισχύει και όταν $\sin \phi<0$

Μας μένει να δούμε τι γίνεται όταν $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$

Πάλι στηριζόμενοι στον τρόπο που προηγήθηκε δείχνουμε ότι για κάθε $\phi$ με $\frac{4\pi}{3} \leq \phi<\frac{3\pi}{2} \p$ οι ρίζες που προκύπτουν έχουν το ίδιο άθροισμα.

Συνεπώς, οι τιμές του για τις οποίες μεγιστοποιείται το άθροισμα των διαφορετικών ριζών της αρχικής εξίσωσης είναι:

$-1<a\leq \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Καλησπέρα,

Ευχαριστώ για την προσπάθεια και το χρόνο σου για την λύση του προβλήματος. Μερικές παρατηρήσεις:

Προσοχή σε ποιό διάστημα εξετάζεις το $\phi$ πρέπει να είναι στο διάστημα του προβλήματος και όχι στο $[0,2\pi]$ , μπορεί να επιρεάζει την λύση αν όχι πρέπει να δικαιολογηθεί.

Για την εκάστοτε τιμή(ες) του

θα πρέπει να εξεταστούν αν οι ρίζες της $\sin x=a$ συμπίμπτουν/επιρεάζουν το άθροισμα σε σχέση με αυτές της εξίσωσης $\p 1+2\sin x-8\sin^3 x=0$ .

Chagi · #4

Καλησπέρα,

Ευχαριστώ για την προσπάθεια και το χρόνο σου για την λύση του προβλήματος. Μερικές παρατηρήσεις:

Προσοχή σε ποιό διάστημα εξετάζεις το $\phi$ πρέπει να είναι στο διάστημα του προβλήματος και όχι στο $[0,2\pi]$ , μπορεί να επιρεάζει την λύση αν όχι πρέπει να δικαιολογηθεί.

Για την εκάστοτε τιμή(ες) του θα πρέπει να εξεταστούν αν οι ρίζες της $\sin x=a$ συμπίμπτουν/επιρεάζουν το άθροισμα σε σχέση με αυτές της εξίσωσης $\p 1+2\sin x-8\sin^3 x=0$ .

Σχετικά με τις παρατηρήσεις:

Όσον αφορά την πρώτη καταλαβαίνω τι εννοείτε. Είχα αναχθεί για ευκολία στο διάστημα $[0,2\pi]$ και ξέχασα στη λύση να μετασχηματίσω κατάλληλα τις ανισότητες. Ωστόσο δεν επηρεάζει την λύση αφού το πλήθος των ριζών το έχω εξετάσει στο ζητούμενο διάστημα.

Τώρα για τη δεύτερη έχετε δίκαιο απλώς νομίζω ότι ξεφεύγει από τη σχολική ύλη της Β΄Λυκείου(τουλάχιστον της διδακτέας). Πάντως η εξίσωση δεν έχει ρίζες που να συμπίπτουν με αυτές της $\sin x=a$ .

Υ.Γ: Επειδή δαπάνησα αρκετό χρόνο για την άσκηση και δεν μου είναι ξεκάθαρο από την απάντησής σας θα ήθελα να ξέρω εάν το αποτέλεσμα που βρήκα είναι το σωστό. Σας ευχαριστώ.

Al.Koutsouridis · #5

Chagi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 5:37 pm

Σχετικά με τις παρατηρήσεις:

Όσον αφορά την πρώτη καταλαβαίνω τι εννοείτε. Είχα αναχθεί για ευκολία στο διάστημα $[0,2\pi]$ και ξέχασα στη λύση να μετασχηματίσω κατάλληλα τις ανισότητες. Ωστόσο δεν επηρεάζει την λύση αφού το πλήθος των ριζών το έχω εξετάσει στο ζητούμενο διάστημα.

Τώρα για τη δεύτερη έχετε δίκαιο απλώς νομίζω ότι ξεφεύγει από τη σχολική ύλη της Β΄Λυκείου(τουλάχιστον της διδακτέας). Πάντως η εξίσωση δεν έχει ρίζες που να συμπίπτουν με αυτές της $\sin x=a$ .

Υ.Γ: Επειδή δαπάνησα αρκετό χρόνο για την άσκηση και δεν μου είναι ξεκάθαρο από την απάντησής σας θα ήθελα να ξέρω εάν το αποτέλεσμα που βρήκα είναι το σωστό. Σας ευχαριστώ.

Η τελική απάντηση είναι $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Θα προσπαθήσω να βάλω την διακαιολόγηση αργότερα αν δεν δοθεί.

Το διάστημα υπό εξέταση δεν είναι πολλαπλάσιο του $2 \pi$ , τα κομμάτια που "προεξέχουν" τι επίδραση έχουν; Αυτό το σημείο είναι που σε χωρίζει από την πλήρη λύση. Στην περίπτωση της τελικής απάντησης έχουμε μόνο μια τιμή οπότε αρκεί η δικαιολόγηση οτι η ποσότητα της άλλης εξίσωσης δεν μηδενίζεται για αυτή την τιμή, εντάσσοντας έτσι την δικαιολόγηση στα πλαίσια της ύλης.

Υγ. Δε χρειάζεται ο πληθυντικός

Al.Koutsouridis · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 7:43 pm

Η τελική απάντηση είναι $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Θα προσπαθήσω να βάλω την διακαιολόγηση αργότερα αν δεν δοθεί.

Στην ουσία τα ίδια με τον Chagi, απλά λίγο πιο "οπτικά" ...

Ψάχνουμε το μέγιστο άθροισμα των ριζών της εξίσωσης $\sin x =a$ στο διάστημα $\left [ \dfrac{3\pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ . Για
a >1

δεν υπάρχουν λύσεις. Για

του διαστήματος $\left ( -1,1 \rght )$ κινούμαστε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο και παρατηρούμε τι γίνεται με το άθροισμα των ριζών:

: trigonometrikos_kuklos.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

Παρατηρούμε ότι στο διάστημα $\left [ \dfrac{3\pi}{4} , 2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right )$ αν $a > \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ τότε θα έχουμε μια ρίζα στο διάστημα αυτό που θα είναι μικρότερη του $2\pi +\dfrac{\pi}{2}$ .

Αν $a \in \left ( -1, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ]$ τότε έχουμε δυο λύσεις σε αυτό το διάστημα με άθροισμα σταθερό, αφού $(\pi-\phi) +(2\pi+\phi) = 3\pi$ . Το οποίο είναι και μέγιστο στο παραπάνω διάστημα, γιατί $3\pi > 2 \pi+\dfrac{\pi}{2}$ .

Στο διάστημα $\left [ 2\pi + \dfrac{\pi}{2}, 6\pi + \dfrac{\pi}{2}\right ]$ ομοίως με την προηγούμενη περίπτωση, αλλά για οποιοδήποτε $a \in \left ( -1, 1)$ , το άθροισμα των ριζών είναι σταθερό, οπότε και μέγιστο.

Στο διάστημα $\left ( 6\pi + \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{22\pi}{3}\right ]$ παρατηρούμε ότι έχουμε μια ρίζα η οποία μεγιστοποιείται για $a = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Το

αυτό ανήκει και στο διάστημα $\left ( -1, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right ]$ καθώς και στο $\left ( -1, 1)$ οπότε διατηρεί το μέγιστο του αθρόίσματος σε όλα τα υποδιαστήματα που εξετάσαμε, δίνοντας έτσι την ζητούμενη μεγιστή τιμή του αθροίσματος των ριζών.

Να σημειώσουμε ότι για $a = \pm 1$ έχουμε από μια ρίζα στα αντίστοιχα διαστήματα και το άθροισμα θα είναι μικρότερο από την παραπάνω περίπτωση.

Chagi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 09, 2018 12:52 pm
$(1+2\sin x-8\sin^3 x)(\sin x-a)=0$

Άρα δεύτερη λύση προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης $\p 1+2\sin x-8\sin^3 x=0$ και τρίτη από την

$\sin x=a$

Παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτες λύσεις είναι ανεξάρτητες της παραμέτρου και άρα το άθροισμα των ριζών τους στο διάστημα $\left [ \dfrac{3 \pi}{4} , \dfrac{22\pi}{3} \right ]$ είναι συγκεκριμένο.

Αρκεί, λοιπόν, να διερευνήσουμε την εξίσωση $\sin x=a$ στο αντίστοιχο διάστημα.

Τέλος θα πρέπει να εξετάσουμε ότι τα

για τα οποία $\sin x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ δεν ικανοποιούν την εξίσωση $\p 1+2\sin x-8\sin^3 x=0$ . Το οποίο θέλει λίγες πράξεις ακόμα, αλλά αποδεικνύεται ότι δεν την ικανοποιούν. Οπότε η ζητούμενη τιμή του

είναι $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Τριγωνομετρική εξίσωση

Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση