Άλγεβρα-Φυσικη

Nikos002 · #1

Καλησπέρα σας θα ήθελα να μου παρουσιάσετε τον νόμο της εκθετικης μεταβολής και για ποιο λόγο η φθίνουσα ταλάντωση είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος?( Χρειάζομαι βοήθεια για την φυσική για τις φθίνουσες ταλαντώσεις.ειναι μαθητής της β Λυκείου και η ύλη ειναι μηδενική σε αυτόν τον τομεα. Θα χαρώ να μου δείξετε και πράγματα που δεν έχω διδαχτεί ακομα,θα χαρώ να έχω επιπλέον γνωσεις.) Σας ευχαριστώ

Nikos002 · #2

Καμία βοήθεια παρακαλώ?

#3

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 8:23 pm
Καλησπέρα σας θα ήθελα να μου παρουσιάσετε τον νόμο της εκθετικης μεταβολής και για ποιο λόγο η φθίνουσα ταλάντωση είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος?( Χρειάζομαι βοήθεια για την φυσική για τις φθίνουσες ταλαντώσεις.ειναι μαθητής της β Λυκείου και η ύλη ειναι μηδενική σε αυτόν τον τομεα. Θα χαρώ να μου δείξετε και πράγματα που δεν έχω διδαχτεί ακομα,θα χαρώ να έχω επιπλέον γνωσεις.) Σας ευχαριστώ

Νίκο καλημέρα.

Θα αναρτήσω δυο εικόνες που ίσως μπορέσουν να σε βοηθήσουν για την κατανόηση του
ερωτήματός σου.
Κατ' αρχήν το νόμο της εκθετικής μεταβολής νομίζω ότι τον γνωρίζεις, καθώς επίσης και τη
λεγόμενη αρμονική ταλάντωση.

Το σχήμα μιας αρμονικής ταλάντωσης είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
$\displaystyle{f(x)=Acos(\omega_o\cdot x+\phi_o )}$
ή ακόμα πιο απλά:
$\displaystyle{f_1(x)=Acos(\omega_o \cdot x) \ \ (1)}$
Το γράφημα αυτής για τις θετικές τιμές του $\displaystyle{x}$ , που συνήθως εκφράζει το χρόνο, είναι το ακόλουθο:

: Αρμονικές ταλαντώσεις 1.png (29.46 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Όμοια για την φθίνουσα ταλάντωση η οποία εκφράζεται, σε απλούστερη μορφή, από τη συνάρτηση:
$\displaystyle{f_2(x)=Ae^{-\gamma \cdot x}cos(\omega_o \cdot x),\ \ \gamma>0, \ \ x>0 \ \ (2) }$
Το γράφημα αυτής είναι το ακόλουθο σχήμα:

: Φθίνουσες ταλαντώσεις 1.png (30.1 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

Στο ανωρέρω σχήμα σχεδιάστηκαν με στικτή γραμμή και οι δυο εκθετικές συναρτήσεις:
$\displaystyle{g_1(x)=Ae^{-\gamma\cdot x} \ \ (3)}$
$\displaystyle{g_2(x)=-Ae^{-\gamma \cdot x} \ \ (4)}$
Στο σχήμα φαίνεται ότι οι συναρτήσεις $\displaystyle{g_1, f_2}$ έχουν κοινά σημεία την ακολουθία
των σημείων:
$\displaystyle{M_1,M_2,M_3,...}$
Είναι φανερό ότι στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης(στο πρώτο σχήμα) οι τεταγμένες
των σημείων αυτών αποτελούν μια σταθερή ακολοθία, με όλους τους όρους ίσους με την τιμή
του πλάτους της αρμονικής ταλάντωσης, δηλαδή ίσους με $\displaystyle{A}$ .
Ας εξετάσουμε τώρα την ακολουθία των τεταγμένων αυτών στην περίπτωση της φθίνουσας
ταλάντωσης, που είναι και το κύριο ερώτημά σου.
Είναι:
$\displaystyle{O_1M_1=f_2(0)=Ae^0cos(0)=A \ \ (5)}$
$\displaystyle{O_2M_2=f_2(\frac{2\pi}{\omega_o})=Ae^{-\gamma \cdot \frac{2\pi}{\omega_o}} \ \ (6) }$
Έτσι ο λόγος αυτών είναι:
$\displaystyle{\frac{O_2M_2}{O_1M_1}=e^{-\frac{2\pi}{\omega}_o\cdot \gamma} =\lambda =ct \ \ (7)}$
όμοια δείχνεται ότι είναι:
$\displaystyle{\frac{O_3M_3}{O_2M_2}=\frac{O_4M_4}{O_3M_3}=...=\lambda}$
Άρα η ακολουθία:
$\displaystyle{O_1M_1,O_2M_2,O_3M_3,...,O_nM_n,...}$
είναι μια γεωμετρική πρόοδος και επειδή:
$\displaystyle{0<\lambda <1 \ \ (8)}$
η πρόοδος αυτή είναι μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, όπως φαίνεται και
στο δεύτερο σχήμα.

Νίκο: Θα ήθελα να σημειώσω ακόμα κάτι:
- Το θέμα είναι λίγο ανεβασμένο και αν ζουμάρουμε περισσότερο σε λεπτομέρειες γίνεται
ακόμα πιο δύσκολο αλλά και όμορφο.
- Θέλω να προσέξεις, αν το μπορέσεις να δείς ποιές είναι οι τετμημένες των σημείων
$\displaystyle{M_1,M_2,M_3, ...}$ , ώστε να μπορέσεις να εννοήσεις τον τύπο (6).
- Ακόμα προσπάθησε να δικαιολογήσεις τον τύπο (8).
- Για να σε βοηθήσω περισσότερο αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα όπου μπορείς να δείς
μέσα από μια κινητικότητα τις συναρτήσεις αυτές.

Φθίνουσες ταλαντώσεις 1.ggb: (21.33 KiB) Μεταφορτώθηκε 39 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Nikos002 · #4

Η γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία καμπύλων εκθετικης συνάρτησης και λόγω ότι ο σταθερός όρος στον εκθέτη είναι αρνητικός είναι φθινουσα?

Άλγεβρα-Φυσικη

Άλγεβρα-Φυσικη

Re: Άλγεβρα-Φυσικη

Re: Άλγεβρα-Φυσικη

Re: Άλγεβρα-Φυσικη

Μέλη σε σύνδεση