Εξίσωση

#1

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle \sqrt[4]{{97 - x}} + \sqrt[4]{x} = 5$

Ένα 24ωρο για μαθητές.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη λύση.

Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει να είναι $\displaystyle 0 \le x \le 97$ .

Θέτω $\displaystyle x = {y^4}$ . Είναι $\displaystyle 0 \le {y^4} \le 97 \Leftrightarrow 0 \le y \le \sqrt[4]{{97}}$

οπότε η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle \sqrt[4]{{97 - {y^4}}} = 5 - y \Leftrightarrow {\left( {y - 5} \right)^4} = 97 - {y^4} \Leftrightarrow {\left( {y - 5} \right)^4} - 16 = 81 - {y^4}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{{\left( {y - 5} \right)}^2} - 4} \right)\left( {{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 4} \right) = \left( {9 - {y^2}} \right)\left( {9 + {y^2}} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {y - 7} \right)\left( {y - 3} \right)\left( {{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 4} \right) = \left( {3 - y} \right)\left( {y + 3} \right)\left( {9 + {y^2}} \right)$

Μία λύση της εξίσωσης είναι y=3

.

Για $\displaystyle y \ne 3$ είναι

$\displaystyle \left( {y - 7} \right)\left( {{y^2} - 10y + 29} \right) = - \left( {y + 3} \right)\left( {9 + {y^2}} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow {y^3} - 7{y^2} + 54y - 88 = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {{y^2} - 5y + 44} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2$ .

Οπότε x = 81

ή

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν νομίζω να υπάρχει ουσιαστικά πιο σύντομη λύση από του Γιώργου.

Παραθέτω μια άλλη λύση στην οποία θα παραλείψω αρκετές πράξεις.

Αν θέσουμε $a=\sqrt[4]{{97 - x}},b=\sqrt[4]{x}$ τότε είναι

a+b=5

και $a^{4}+b^{4}=97$

Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα θα πάρουμε

$625=97+4ab(a^{2}+b^2)+6a^2b^2$

Αν θέσουμε t=ab

προκύπτει από την παραπάνω τριώνυμο

που δίνει t=6

η

Εχουμε λοιπόν τις δύο περιπτώσεις

a+b=5,ab=6

η

Η πρώτη περίπτωση δίνει a=2,b=3

η ανάποδα .

Βρίσκουμε x=16

η

Η δεύτερη δίνει τα a,b

μιγαδικά οπότε απορρίπτεται

Εκτός φακέλου.Από κυρτότητα η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.
Επίσης αν η

είναι ρίζα της και η 97-r

είναι.

Ratio · #4

Εγώ πάλι το σκέφτηκα ως εξής:
αναζήτησα δύο φυσικούς που το άθροισμά τους να δίνει 5 και είχα τα εξής ζευγάρια (0,5), (1,4)

και

. Και λύνοντας βρήκα λύση x=3

Xriiiiistos · #5

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 11:10 am
Εγώ πάλι το σκέφτηκα ως εξής:
αναζήτησα δύο φυσικούς που το άθροισμά τους να δίνει 5 και είχα τα εξής ζευγάρια και . Και λύνοντας βρήκα λύση

Έτσι όμως δεν παίρνεις την περίπτωση να είναι και οι 2 άρρητοι των οποίων το άθροισμά τους να είναι

π.χ. $2+\sqrt{3}$ και $3-\sqrt{3}$ . Επίσης μπορεί αν είναι και άθροισμα κλασμάτων ίσο με 5,( $\frac{9}{2}\kappa \alpha \iota \frac{1}{2}$ ) η λύση αυτήν είναι ελλιπής

#6

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 11:10 am
Εγώ πάλι το σκέφτηκα ως εξής:
αναζήτησα δύο φυσικούς που το άθροισμά τους να δίνει 5 και είχα τα εξής ζευγάρια και . Και λύνοντας βρήκα λύση

Αν και εξήγησε ο Xriiiiistos ας το δούμε και λίγο πιο χειροπιαστά για να πεισθούμε ότι το επιχείρημα είναι προβληματικό:

Αν έκανες ακριβώς την ίδια σκέψη για την εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt {20+x} + \sqrt {1-3x}=5}$ θα έβγαζες το συμπέρασμα δεν έχει ρίζα. Να όμως που η $x=\frac {1}{4}$ την ικανοποιεί.

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Ratio · #7

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 2:27 pm

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 11:10 am
Εγώ πάλι το σκέφτηκα ως εξής:
αναζήτησα δύο φυσικούς που το άθροισμά τους να δίνει 5 και είχα τα εξής ζευγάρια και . Και λύνοντας βρήκα λύση
Έτσι όμως δεν παίρνεις την περίπτωση να είναι και οι 2 άρρητοι των οποίων το άθροισμά τους να είναι π.χ. $2+\sqrt{3}$ και $3-\sqrt{3}$ . Επίσης μπορεί αν είναι και άθροισμα κλασμάτων ίσο με 5,( $\frac{9}{2}\kappa \alpha \iota \frac{1}{2}$ ) η λύση αυτήν είναι ελλιπής

To είχα υπόψη μου αυτό γι αυτό και έγραψα ότι η επιλογή ήταν οι φυσικοί αριθμοί και όχι οι πραγματικοί .

Ratio · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 4:31 pm

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 11:10 am
Εγώ πάλι το σκέφτηκα ως εξής:
αναζήτησα δύο φυσικούς που το άθροισμά τους να δίνει 5 και είχα τα εξής ζευγάρια και . Και λύνοντας βρήκα λύση
Αν και εξήγησε ο Xriiiiistos ας το δούμε και λίγο πιο χειροπιαστά για να πεισθούμε ότι το επιχείρημα είναι προβληματικό:

Αν έκανες ακριβώς την ίδια σκέψη για την εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt {20+x} + \sqrt {1-3x}=5}$ θα έβγαζες το συμπέρασμα δεν έχει ρίζα. Να όμως που η $x=\frac {1}{4}$ την ικανοποιεί.

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Δεν ισχυρίστηκα ότι η λύση μου μπορεί να λύσει κάθε αντίστοιχη εξίσωση. Και ήξερα εξ αρχής ότι αν υπήρχαν και άλλες λύσεις έτσι δεν θα μπορούσα να τις βρω

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση