ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

panagiotis iliopoulos · #1

Καλησπέρα σας. Ήθελα να κάνω μία ερώτηση. Γίνεται να προσδιοριστούν επακριβώς οι ρίζες της $x^{3}-3x+1=0$
και αν ναι με ποια μεθοδο;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 16, 2018 8:46 pm
Καλησπέρα σας. Ήθελα να κάνω μία ερώτηση. Γίνεται να προσδιοριστούν επακριβώς οι ρίζες της $x^{3}-3x+1=0$
και αν ναι με ποια μεθοδο;

Στο παρακάτω θα τα βρεις όλα.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

Tolaso J Kos · #3

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 16, 2018 8:46 pm
Καλησπέρα σας. Ήθελα να κάνω μία ερώτηση. Γίνεται να προσδιοριστούν επακριβώς οι ρίζες της $x^{3}-3x+1=0$
και αν ναι με ποια μεθοδο;

Μπορούμε αλλά φυσικά είναι εκτός ύλης Β' Λυκείου. Ας βρούμε πρώρα τη διακρίνουσα της εξίσωσης. Είναι:

$\displaystyle{\Delta = \underbrace{{\left (\frac{3\alpha \gamma -\beta^2}{9\alpha^2} \right )^3}}_{Q=-1} + \underbrace{\left ( \frac{9 \alpha \beta \gamma-27\alpha^2\delta-2\beta^3}{54\alpha^3} \right )^2}_{R=\frac{1}{2}} = -\cdots = -\frac{3}{4}<0}$
Συνεπώς η εξίσωση έχει

διακεκριμένες πραγματικές ρίζες. Τώρα υπολογίζουμε τις ποσότητες:

$\displaystyle{\begin{matrix} S & = & \sqrt[3]{R+\sqrt{\Delta}} \\\\ T & = & \sqrt[3]{R-\sqrt{\Delta}} \end{matrix}}$
( Εδώ θα μπλέξουμε με μιγαδικούς και οι πράξεις είναι απαγορευτικές. Αφού βρούμε αυτά ( με χρήση λογισμικού ) μπορούμε πλέον να βρούμε τις ρίζες.

$\displaystyle{\begin{matrix} x_1 &= & S + T - \frac{\beta}{3\alpha} \\\\ x_2& = & \displaystyle - \frac{S+T}{2} - \frac{\beta}{3\alpha} + \frac{i \sqrt{3}}{2} \left ( S - T \right ) \\\\ x_3 & = & \displaystyle - \frac{S+T}{2} - \frac{\beta}{3\alpha} - \frac{i \sqrt{3}}{2} \left ( S - T \right ) \end{matrix}}$
Καλά ξεμπερδέματα. Όλα αυτά και λίγα παραπάνω στοιχεία του πώς προκύπτουν θα βρει κάποιος εδώ στο Cardano's Formula.

Λέξεις Κλειδιά: Cardano's Formula , Εξίσωση τρίτου βαθμού , Τριτοβάθμια

Σημείωση: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω για μελλοντική αναφορά.

#4

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 16, 2018 8:46 pm
Καλησπέρα σας. Ήθελα να κάνω μία ερώτηση. Γίνεται να προσδιοριστούν επακριβώς οι ρίζες της $x^{3}-3x+1=0$
και αν ναι με ποια μεθοδο;

Σίγουρα βοηθά να ξέρεις ότι η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες η μία από τις οποίες είναι η $2\sin 10^o$ και άλλη μία η $2\sin 50^o$ . Έχουμε και μία αρνητική, την $-2\sin 70^o$ .

Τις βρήκα με μέθοδο Vieta. Εννοείται.

Είναι εύκολο τώρα να τις επαληθεύσεις μέσω της $\sin 3a=3\sin a - 4 \sin ^3 a$ .

#5

Πρόκειται για κλασική εξίσωση που αντιμετωπίζεται με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας.

Θέτουμε $\displaystyle{x=2\cos a,}$ οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{4\cos ^3a-3\cos a=-\frac{1}{2}\iff \cos 3a=\cos \frac{2\pi}{3}\iff 3a=2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}\iff}$

$\displaystyle{\iff a=\frac{2k\pi }{3}\pm \frac{2\pi}{9}}$ .

Από τη διαίρεση του $\displaystyle{k}$ με το $\displaystyle{3}$ έχουμε $\displaystyle{k=3\ell +u,~u=0\vee 1\vee 2,}$ οπότε

$\displaystyle{\frac{2k\pi }{3}=\begin{cases} 2\pi \ell \\ 2\pi \ell +\frac{2\pi }{3} \\ 2\pi \ell +\frac{4\pi }{3} \end{cases}}$ .

Άρα

$\displaystyle{\cos a=\cos \frac{2\pi}{9}\vee \cos a=\cos \left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi }{9}\right)=-\cos \frac{\pi}{9}\vee \cos a=\cos \left(\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi }{9}\right)=\cos \frac{4\pi}{9}.}$

Άρα οι αριθμοί

$\displaystyle{2\cos \frac{2\pi}{9}, -2\cos \frac{\pi}{9}, 2\cos \frac{4\pi}{9}}$ είναι ρίζες της εξίσωσης. Επειδή η εξίσωση είναι τρίτου βαθμού, δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις ρίζες. Άρα αυτές είναι οι μόνες ρίζες.

#6

matha έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 17, 2018 12:21 pm
Πρόκειται για κλασική εξίσωση που αντιμετωπίζεται με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας.

Θέτουμε $\displaystyle{x=2\cos a,}$ οπότε η εξίσωση γράφεται

Θάνο, ουσιαστικά το ίδιο έκανα (αυτό λέει η μέθοδος Vieta) με μόνη διαφορά ότι
ξεκίνησα (ισοδύναμα) με $x=2\sin \theta$ .

#7

Μιχάλη, χαιρετώ!

Το κατάλαβα ότι οι λύσεις που έγραψες βασίζονται στην ίδια ακριβώς μέθοδο, απλώς είπα να γράψω ολόκληρη τη λύση για όποιον δεν την έχει δει.

ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΑΡΡΗΤΕΣ ΡΙΖΕΣ

Μέλη σε σύνδεση