Μέγιστη τιμή
Συντονιστής: exdx
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Μέγιστη τιμή
Χαιρετώ.
Αν είναι τότε να βρεθεί η μέγιστη τιμή των και
Το θέμα έχει πιθανότατα καλυφθεί. Θα πρότεινα οι παραπομπές σε λύσεις να καθυστερήσουν λίγο ,
ώστε να δούμε πρώτα κάποιες απαντήσεις και ( γιατί όχι) νέες ιδέες-λύσεις! .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Αν είναι τότε να βρεθεί η μέγιστη τιμή των και
Το θέμα έχει πιθανότατα καλυφθεί. Θα πρότεινα οι παραπομπές σε λύσεις να καθυστερήσουν λίγο ,
ώστε να δούμε πρώτα κάποιες απαντήσεις και ( γιατί όχι) νέες ιδέες-λύσεις! .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστη τιμή
Kαλησπέρα σε όλους. Ας συμμαζέψουμε αρκετές διαφορετικές προσεγγίσεις. Ξεκινώ με την πλέον αναμενόμενη (φαντάζομαι) προσέγγιση.
Είναι με το μέγιστο, που είναι , να επιτυγχάνεται όταν , που, για , προκύπτει όταν .
Είναι με το μέγιστο, που είναι ,να επιτυγχάνεται όταν , που, για προκύπτει όταν .
Είναι με το μέγιστο, που είναι , να επιτυγχάνεται όταν , που, για , προκύπτει όταν .
Είναι με το μέγιστο, που είναι ,να επιτυγχάνεται όταν , που, για προκύπτει όταν .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστη τιμή
Για να παρακινήσω το ενδιαφέρον των αγαπητών φίλων, δίνω άλλη μία, ίσως όχι από τις πλέον δημοφιλείς.
Έστω σημείο στο 1ο τεταρτοκύκλιο του μοναδιαίου κύκλου.
Τότε η περίμετρός του δίνεται από τον τύπο .
Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστη περίμετρο έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του , άρα και του επιτυγχάνεται όταν .
Το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο .
Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστο εμβαδόν έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του E, άρα και του επιτυγχάνεται όταν .
(*) Οι αποδείξεις προτείνονται ως μαθητική άσκηση, (απ’ αυτές που δίνουν αληθινό νόημα στη δουλειά μας στις τάξεις).
Έστω σημείο στο 1ο τεταρτοκύκλιο του μοναδιαίου κύκλου.
Τότε η περίμετρός του δίνεται από τον τύπο .
Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστη περίμετρο έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του , άρα και του επιτυγχάνεται όταν .
Το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο .
Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστο εμβαδόν έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του E, άρα και του επιτυγχάνεται όταν .
(*) Οι αποδείξεις προτείνονται ως μαθητική άσκηση, (απ’ αυτές που δίνουν αληθινό νόημα στη δουλειά μας στις τάξεις).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέγιστη τιμή
Καλησπέρα σε όλους!
To είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ●
με την ισότητα να ισχύει όταν δηλαδή
● με την ισότητα να ισχύει όταν δηλαδή
To είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ●
με την ισότητα να ισχύει όταν δηλαδή
● με την ισότητα να ισχύει όταν δηλαδή
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστη τιμή
Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα κομψή γεωμετρική, κατά το ήμισυ διαφορετική από τη λύση του Γιώργου.
Έστω σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα , ύψος στην υποτείνουσα και διάμεσο στην υποτείνουσα.
Τότε , με το ίσον όταν το ύψος ταυτίζεται με τη διάμεσο, δηλαδή όταν είναι ισοσκελές.
Είναι .
Είναι . Όταν το γίνεται μέγιστο, τότε γίνεται μέγιστο και το
με τιμή , άρα και το με μέγιστη τιμή .
Έστω σε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα , ύψος στην υποτείνουσα και διάμεσο στην υποτείνουσα.
Τότε , με το ίσον όταν το ύψος ταυτίζεται με τη διάμεσο, δηλαδή όταν είναι ισοσκελές.
Είναι .
Είναι . Όταν το γίνεται μέγιστο, τότε γίνεται μέγιστο και το
με τιμή , άρα και το με μέγιστη τιμή .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μέγιστη τιμή
Και μια με πιο "σύγχρονα" εργαλεία.
Έστω
H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με .
Είναι .
Με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι για , , για , άρα έχει μέγιστο όταν με τιμή .
Έστω
H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με .
Όπως παραπάνω, με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν με τιμή .
Έστω
H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με .
Είναι .
Με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι για , , για , άρα έχει μέγιστο όταν με τιμή .
Έστω
H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με .
Όπως παραπάνω, με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν με τιμή .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Μέγιστη τιμή
Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους συνονόματους και τον Χάρη για την συμβολή τους με τις κομψές απαντήσεις!
Ας δούμε μία ακόμη με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου Η διχοτομεί την και το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με .
Έστω με (όμοια η απόδειξη για )
Τότε αφού :
Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι εγγεγραμμένη στο τόξο που είναι μικρότερο του τεταρτοκυκλίου άρα δηλ .
όταν .
Όπως στην άσκηση 1 της Β' ομάδας στην ενότητα 3.2 του σχολικού , παίρνουμε άρα
όταν για . Φιλικά Γιώργος.
Ας δούμε μία ακόμη με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου Η διχοτομεί την και το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με .
Έστω με (όμοια η απόδειξη για )
Τότε αφού :
Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι εγγεγραμμένη στο τόξο που είναι μικρότερο του τεταρτοκυκλίου άρα δηλ .
όταν .
Όπως στην άσκηση 1 της Β' ομάδας στην ενότητα 3.2 του σχολικού , παίρνουμε άρα
όταν για . Φιλικά Γιώργος.
Re: Μέγιστη τιμή
Εύκολα αποδεικνύεται ότι στο ισχύει : .
Άρα η μέγιστη τιμή της στο είναι που συμβαίνει όταν δηλαδή για . ( Από τη σχέση συμπεραίνουμε ότι, όταν η παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο είναι )
Άρα η μέγιστη τιμή της στο είναι που συμβαίνει όταν δηλαδή για . ( Από τη σχέση συμπεραίνουμε ότι, όταν η παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο είναι )
Re: Μέγιστη τιμή
Αντιγράφω από την Γεωμετρία των Ιησουιτών ( μιλάμε για θετικούς αριθμούς ) :
Αρχή η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το άθροισμά τους
μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .
Αρχή η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το γινόμενό τους
μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .
Η απόδειξη εκεί γίνεται γεωμετρικά , ενώ υπάρχει και η αλγεβρική απόδειξη των παραπάνω με χρήση
των ταυτοτήτων : και
(υπήρχαν σε παλιότερη έκδοση του βιβλίου Άλγεβρας της Α' Λυκείου ) .
Επειδή λοιπόν : , για τα μέγιστα παίρνουμε :
και , αμφότερα για :
, δηλαδή για .
Αρχή η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το άθροισμά τους
μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .
Αρχή η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το γινόμενό τους
μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .
Η απόδειξη εκεί γίνεται γεωμετρικά , ενώ υπάρχει και η αλγεβρική απόδειξη των παραπάνω με χρήση
των ταυτοτήτων : και
(υπήρχαν σε παλιότερη έκδοση του βιβλίου Άλγεβρας της Α' Λυκείου ) .
Επειδή λοιπόν : , για τα μέγιστα παίρνουμε :
και , αμφότερα για :
, δηλαδή για .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες