Τιμή παράστασης

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τιμή παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 27, 2018 9:13 pm

Έστω x>1 πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει:

\displaystyle{\log_2\left ( \log_4 x \right ) + \log_4 \left ( \log_{16} x \right ) + \log_{16} \left ( \log_2 x \right ) =0 }
Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

\displaystyle{\mathcal{T} = \log_2 \left ( \log_{16} x  \right ) + \log_{16} \left ( \log_4 x \right ) + \log_4\left ( \log_2 x \right ) }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τιμή παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 27, 2018 9:58 pm

Καλησπέρα σε όλους.


Έστω  \displaystyle {\log _2}x = y \Rightarrow {\log _4}x = \frac{y}{2}\;\;\; \wedge \;\;{\log _{16}}x = \frac{y}{4} .

Οπότε  \displaystyle {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) + {\log _4}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) + {\log _{16}}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}\frac{y}{2} + {\log _4}\frac{y}{4} + {\log _{16}}y = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\frac{y}{2} + \frac{{{{\log }_2}\frac{y}{4}}}{2} + \frac{{{{\log }_2}y}}{4} = 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}y + \frac{{lo{g_2}y}}{2} + \frac{{{{\log }_2}y}}{4} = 2 \Leftrightarrow {\log _2}y = \frac{8}{7} .

Οπότε  \displaystyle {\cal T} = {\log _2}\left( {{{\log }_{16}}x} \right) + {\log _{16}}\left( {{{\log }_4}x} \right) + {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)

 \displaystyle  = {\log _2}\frac{y}{4} + {\log _{16}}\frac{y}{2} + {\log _4}y = {\log _2}y - 2 + \frac{{{{\log }_2}y - 1}}{4} + \frac{{{{\log }_2}y}}{2}

 \displaystyle  = \frac{8}{7} - 2 + \frac{{\frac{8}{7} - 1}}{4} + \frac{{\frac{8}{7}}}{2} =  - \frac{1}{4} .

edit: Διόρθωσα ένα αριθμητικό λάθος. Ευχαριστώ τον Αποστόλη και των Γιώργο Βισβίκη, για την διακριτική υπόδειξη του λάθους.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 28, 2018 7:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τιμή παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 27, 2018 11:56 pm

Βγάζω -\frac{1}{4}. Πιο συγκεκριμένα αν δηλώσουμε με \mathcal{A} την αρχική παράσταση τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{T} - \mathcal{A} &= \log_2 \left ( \frac{\log_{16}x}{\log_4 x} \right ) + \log_4 \left ( \frac{\log_2 x}{\log_{16}x} \right ) + \log_{16} \left ( \frac{\log_4 x}{\log_2 x} \right ) \\  
 &= \log_2 \left ( \log_{16} 4 \right ) + \log_4 \left ( \log_2 16 \right ) + \log_{16} \left ( \log_4 2 \right ) \\  
 &=\log_2 \frac{1}{2} + \log_4 4 + \log_{16} \frac{1}{2} \\  
 &=(-1) + 1 + \left ( -\frac{1}{4} \right ) \\  
 &=-\frac{1}{4} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης