Πολυώνυμο

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4331
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Πολυώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 21, 2018 10:44 am

Το \mathrm{P} είναι πολυώνυμο βαθμού 2\nu και για αυτό ισχύει

\displaystyle{\mathrm{P}(x) + x^{2\nu} \mathrm{P} \left ( \frac{1}{x} \right ) =0 }
Να δειχθεί ότι το x^2-1 είναι παράγοντας του \mathrm{P} και αν \Pi(x) το πηλίκο , τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση \Pi(x)=0 έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς ανά δύο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Πολυώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Δεκ 21, 2018 1:24 pm

Πεδίο ορισμού x\in \mathbb{R}-(0)

Έστω P(x)=a_{2n}x^{2n}+...+a_{0} τότε x^{2n}P(\frac{1}{x})=a_{2n}+a_{2n-1}x+...+a_{0}x^{2n} προσθέτοντας και θέτοντας πολυώνυμο G(x) έχουμε

G(x)=P(x)+x^{2n}P(\frac{1}{x})=(a_{0}+a_{2n})x^{2n}+(a_{1}+a_{2n-1})x^{2n-1}+...+(a_{0}+a_{2n})=0 Για να ισχύει για κάθε x πρέπει

a_{0}=-a_{2n},a_{1}=a_{2n-1}... και τα λοιπά εκτός από τον μεσαίο συντελεστή που θα είναι a_{n}=0 αφού το G(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Οπότε τώρα θα έχουμε

P(x)=-a_{0}x^{2n}-a_{1}x^{2n-1}-...-a_{n-1}x^{n+1}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}

-a_{0}x^{2n}+a_{0}=-a_{0}(x^{2n}-1)=-a_{0}(x^{2}-1)(x^{n}+...+1) έτσι μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε όλο το πολυώνυμο και να βγάλουμε κοινό παράγοντα το x^{2}-1 Οπότε το x^{2}-1 διαιρεί το P(x) τέλεια, το δεύτερο θα το δω πιο μετά
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Παρ Δεκ 21, 2018 3:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12314
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 21, 2018 3:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Δεκ 21, 2018 10:44 am
Το \mathrm{P} είναι πολυώνυμο βαθμού 2\nu και για αυτό ισχύει

\displaystyle{\mathrm{P}(x) + x^{2\nu} \mathrm{P} \left ( \frac{1}{x} \right ) =0 }
Να δειχθεί ότι το x^2-1 είναι παράγοντας του \mathrm{P} και αν \Pi(x) το πηλίκο , τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση \Pi(x)=0 έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς ανά δύο.
Πιο απλά: Θέτοντας x=1 στην δοθείσα, είναι \displaystyle{\mathrm{P}(1) + 1^{2\nu} \mathrm{P}  (1 ) =0 }. Άρα  \mathrm{P}  (1 ) =0 , που σημαίνει ότι η x=1 είναι ρίζα. Όμοια η x=-1 δίνει \displaystyle{\mathrm{P}(-1) + (-1)^{2\nu} \mathrm{P}  (-1 ) =0 }. Άρα  \mathrm{P}  (-1 ) =0 , που σημαίνει ότι η x=-1 είναι ρίζα. Άρα το P έχει παράγοντα το (x-1)(x+1)=x^2-1.

Για το β' μέρος.
Με παραλλαγή αυτού μπορούμε να δούμε ότι αν P(a)=0 τότε και P(1/a)=0. Και λοιπά. Αφήνω τις λεπτομέρειες μήπως θέλουν να το συνεχίσουν οι μαθητές μας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης