εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Δεκ 26, 2018 6:07 pm

Παρμένη από εδώ: viewtopic.php?f=136&t=62895



Να λύσετε την εξίσωση

\displaystyle 3 \cdot 2^{\cos x +3\sqrt{1-\sin^2 x}} + 11 \cdot 2^{2\cos x} -34=0



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: εκθετο-λογαριθμο-τριγωνομετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 26, 2018 6:28 pm

Καλησπέρα σε όλους και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!

Μια προσπάθεια με αρκετές πράξεις, που καλύπτουν ευρύ φάσμα της ύλης.

Η εξίσωση γράφεται

 \displaystyle 3\cdot{2^{\cos x + 3\sqrt {1 - {{\sin }^2}x} }} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0 \Leftrightarrow 3\cdot{2^{\cos x + 3\left| {\cos x} \right|}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0

Αν  \displaystyle \cos x < 0 η εξίσωση γράφεται

 \displaystyle 3\cdot{2^{ - 2\cos x}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{{2^{2\cos x}}}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0

Θέτουμε  \displaystyle {2^{2\cos x}} = y,\;\;y > 0 , οπότε η εξίσωση γίνεται

 \displaystyle \frac{3}{y} + 11y - 34 = 0 \Leftrightarrow 11{y^2} - 34y + 3 = 0 , που έχει ρίζες  \displaystyle y = 3\;\;\; \vee \;\;\;y = \frac{1}{{11}}

Είναι  \displaystyle y = 3\;\;\; \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\ln 3}}{{\ln 4}} , λύση που απορρίπτεται

ή  \displaystyle y = \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - \ln 11}}{{\ln 4}} <  - 1 , απορρίπτεται.


Αν  \displaystyle \cos x > 0 η εξίσωση γράφεται  \displaystyle 3\cdot{2^{4\cos x}} + 11\cdot{2^{2\cos x}} - 34 = 0

Θέτουμε  \displaystyle {2^{2\cos x}} = y,\;\;y > 0 , οπότε η εξίσωση γίνεται  \displaystyle 3{y^2} + 11y - 34 = 0 ,

που έχει ρίζες είτε  \displaystyle y =  - 6 που απορρίπτεται

είτε  \displaystyle y = 2 \Leftrightarrow {4^{\cos x}} = 2 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2k\pi  \pm \frac{\pi }{3},\;\;k \in Z.

Μήπως πρέπει να μεταφερθεί το θέμα στον αρχικό φάκελο;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης