Άθροισμα τιμών

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9379
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άθροισμα τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 28, 2019 2:58 pm

Για τους πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύουν: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x - y + xy = 11\\ 
\\ 
{x^2}y - x{y^2} = 18 
\end{array} \right.

Να βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του x.

Δίνεται ένα 24ωρο στους μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άθροισμα τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 28, 2019 3:43 pm

Το σύστημα γράφεται \left\{\begin{matrix} &\left ( x-y \right )+xy=11 & \\ & xy\left ( x-y \right )=18 & \end{matrix}\right.
Έστω a=x-y,b=xy
\left\{\begin{matrix} &a+b=11 & \\ & ab=18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=11-b & \\ &b\left ( 11-b \right )=18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=11-b & \\ & b^2-11b+18=0 & \end{matrix}\right.
Για την b^2-11b+18=0 είναι b_{1,2}=\dfrac{11\pm \sqrt{11^2-4\cdot 18}}{2}=\dfrac{11\pm 7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b_1=9 \,\,\acute{\eta} & \\ & b_2=2 & \end{matrix}\right.
Για a=9,b=2 έχουμε
\left\{\begin{matrix} & xy=2 & \\ & x-y=9&\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x^2-9x-2=0 & \\ & y=x-9 & \end{matrix}\right.
Για την x^2-9x-2=0 είναι x_{1,2}=\dfrac{9\pm \sqrt{81+8}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x_1=\dfrac{9+\sqrt{89}}{2} & \\ & x_2=\dfrac{9-\sqrt{89}}{2} & \end{matrix}\right.
Για b=9,a=9
\left\{\begin{matrix} &xy=9 & \\ & x-y=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x^2-2x-9=0 & \\ & y=x-2 & \end{matrix}\right.
Για την x^2-2x-9=0 είναι x_{3,4}=\dfrac{2\pm \sqrt{4+36}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_3=\dfrac{2+\sqrt{40}}{2} & \\ & x_4=\dfrac{2-\sqrt{40}}{2} & \end{matrix}\right.

Άρα x_1+x_2+x_3+x_4=\dfrac{9+\sqrt{89}}{2}+\dfrac{9-\sqrt{89}}{2}+\dfrac{2+\sqrt{40}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{9+9+2+2}{2}=11


Θα μπορούσα να πω αμέσως το εξής; :x_1+x_2+x_3+x_4=\left ( x_1+x_2 \right )+\left ( x_3+x_4 \right )=9+2=11;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9379
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 28, 2019 4:23 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 3:43 pm
Το σύστημα γράφεται \left\{\begin{matrix} &\left ( x-y \right )+xy=11 & \\ & xy\left ( x-y \right )=18 & \end{matrix}\right.
Έστω a=x-y,b=xy
\left\{\begin{matrix} &a+b=11 & \\ & ab=18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=11-b & \\ &b\left ( 11-b \right )=18 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a=11-b & \\ & b^2-11b+18=0 & \end{matrix}\right.
Για την b^2-11b+18=0 είναι b_{1,2}=\dfrac{11\pm \sqrt{11^2-4\cdot 18}}{2}=\dfrac{11\pm 7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b_1=9 \,\,\acute{\eta} & \\ & b_2=2 & \end{matrix}\right.
Για a=9,b=2 έχουμε
\left\{\begin{matrix} & xy=2 & \\ & x-y=9&\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x^2-9x-2=0 & \\ & y=x-9 & \end{matrix}\right.
Για την x^2-9x-2=0 είναι x_{1,2}=\dfrac{9\pm \sqrt{81+8}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x_1=\dfrac{9+\sqrt{89}}{2} & \\ & x_2=\dfrac{9-\sqrt{89}}{2} & \end{matrix}\right.
Για b=9,a=9
\left\{\begin{matrix} &xy=9 & \\ & x-y=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x^2-2x-9=0 & \\ & y=x-2 & \end{matrix}\right.
Για την x^2-2x-9=0 είναι x_{3,4}=\dfrac{2\pm \sqrt{4+36}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & x_3=\dfrac{2+\sqrt{40}}{2} & \\ & x_4=\dfrac{2-\sqrt{40}}{2} & \end{matrix}\right.

Άρα x_1+x_2+x_3+x_4=\dfrac{9+\sqrt{89}}{2}+\dfrac{9-\sqrt{89}}{2}+\dfrac{2+\sqrt{40}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{9+9+2+2}{2}=11
Πολύ ωραία Πρόδρομε! Συγχαρητήρια και για την επίδοσή σου στον Αρχιμήδη! :clap2:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 28, 2019 3:43 pm
Θα μπορούσα να πω αμέσως το εξής; :x_1+x_2+x_3+x_4=\left ( x_1+x_2 \right )+\left ( x_3+x_4 \right )=9+2=11;
Ναι θα μπορούσες να να το πεις, χωρίς να χρειαστεί να βρεις όλες τις τιμές.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άθροισμα τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Φεβ 28, 2019 4:26 pm

Σας ευχαριστώ πολύ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες