Βόλτες στο ποτάμι

Al.Koutsouridis · #1

Στις

η ώρα το πρωί από το σημείο

προς το σημείο

με την φορά της ροής του ποταμού ξεκίνησαν μια βάρκα και ένα ταχύπλοο. Η βάρκα έφτασε στο σημείο

στις

η ώρα της ίδιας μέρας. Το ταχύπλοο, φτάνοντας στο σημείο

, κατευθείαν γυρίζει πίσω και στην διαδρομή του από

στο

συνάντησε την βάρκα όχι αργότερα από τις 14:00

η ώρα και έφτασε στο σημείο

όχι νωρίτερα από τις 22:00

η ώρα της ίδιας μέρας. Να βρείτε τι ώρα έφτασε το ταχύπλοο στο σημείο

, αν η ιδία ταχύτητά του (η ταχύτητα σε ήρεμα νερά) είναι δυο φορές μεγαλύτερη από την ιδία ταχύτητα της βάρκας.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Έστω u_b,u_p,u_t

η ταχύτητα της βάρκας,του ποταμού και του ταχύπλοου.
Θα συμβολίζουμε $S_{AB}$ το μήκος της διαδρομής από το

στο

(ή ανάποδα)

Έστω επίσης

η χρονική στιγμή στην οποία το ταχύπλοο έφτασε στο

Προφανώς όταν η βάρκα ή το ταχύπλοο κινούνται με την ίδια φορά του ποταμού τότε η ταχύτητα τους είναι η ιδιο-ταχύτητα του συν του ποταμού και αντίστοιχα αν κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση.

Είναι u_t=2u_b

$\left\{\begin{matrix} &S_{AB}=\left ( 16-6 \right )\left ( u_b+u_p \right ) & \\ & S_{AB}=\left ( t-6 \right )\left ( 2u_b+u_p \right ) & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p}$

Έστω

' η στιγμή που θα συναντηθούνται καθώς το ταχύπλοο θα επιστρέφει στο

θα είναι

$\left ( t'-6 \right )\left ( u_b+u_p \right )+\left ( t'-t \right )\left ( 2u_b+u_p \right )=10\left ( u_b+u_p \right )\Leftrightarrow t'u_b+t'u_p-6u_b-6u_p+2t'u_b+t'u_p-...2tu_b-tu_p=10(u_b+u_p)\Leftrightarrow 3t'u_b-2tu_b+tu_p=16(u_b+u_p)\Leftrightarrow 3t'u_b-2u_b\left ( \dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p} +6\right )+...u_p\left ( \dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p} +6\right )=16(u_b+u_p)\Leftrightarrow 3t'u_b\left ( 2u_b+u_p \right )-20u_b\left ( u_b+u_p \right )-12u_b\left ( 2u_b+u_p \right )+...10u_p\left ( u_b+u_p \right )+6u_p\left ( 2u_b+u_p \right )=16(3u_bu_p+u_p^2+2u_b^2)\Leftrightarrow 6t'u_b^2+3t'u_bu_p-20u_b^2-20u_bu_p-...24u_b^2-12u_bu_p+10u_bu_p+10u_p^2+12u_bu_p+6u_p^2=48u_bu_p+16u_p^2+32u_b^2\Leftrightarrow 6t'u_b+3t'u_p=76u_b+58u_p$

Όμως $t'\leq 14\Leftrightarrow 6t'u_b+3t'u_p\leq 84u_b+42u_p\Leftrightarrow 76u_b+58u_p\leq 84u_b+42u_p\Leftrightarrow \boxed{u_b\geq 2u_p}$

Έστω t''

η χρονική στιγμή που το ταχύπλοο θα επιστρέψει πάλι στο

Είναι $t''=t+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b-u_p} =6+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p}+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b-u_p}$

Όμως
$t''\geq 22\Leftrightarrow 6+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p}+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b-u_p}\geq 22\Leftrightarrow \dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p}+\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b-u_p}\geq 16\Leftrightarrow ...10\left ( u_b+u_p \right )\left ( 2u_b-u_p \right )+10\left ( u_b+u_p \right )(2u_b+u_p) \geq 16\left ( 4u_b^2-u_p^2 \right )\Leftrightarrow 40u_b^2+40u_bu_p\geq 64u_b^2-...16u_p^2\Leftrightarrow 16u_b^2-40u_bu_p-24u_b^2\geq 0$

Η $2u_b^2-5u_bu_p-3u_b^2\geq 0$ είναι δευτέρου βαθμού με θετική διακρίνουσα και θετική ρίζα την $\dfrac{u_b}{2}$

Άρα πρέπει $\boxed{2u_p\geq u_b}$ που μαζί με την $u_b\geq 2u_p$ δίνουν u_b=2u_p

Άρα $t=\dfrac{10\left ( u_b+u_p \right )}{2u_b+u_p}+6=\dfrac{30u_p}{5u_p}+6=12$

Το ταχύπλοο έφτασε στο

στις $\boxed{12:00}$

Al.Koutsouridis · #3

Βόλτες στο ποτάμι

Βόλτες στο ποτάμι

Re: Βόλτες στο ποτάμι

Re: Βόλτες στο ποτάμι

Μέλη σε σύνδεση