Re: Αρρητη εξίσωση 2

angvl · #1

Καλησπέρα!

Η παρακάρω εξίσωση με έχει ζορίσει αρκετά..Κάτι χάνω..
Χρείαζομαι μια βοήθεια όταν μπορείτε.

$\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$

Δοκίμασα να την λύσω επιθετικά δλδ (διαίρεση στο 2 μελος ,παραγαντοποίηση και υψώνω τετράγωνο) αλλά πολλές πράξεις και το άφησα. Μετά δοκίμασα να θέσω x-3=a,x=a+3

αλλά πάλι δεν βγαίνει εύκολα.Γενικά έκανα διάφορα μαγικά αλλά δεν την κατάφερα..κάτι δεν βλέπω..

Tolaso J Kos · #2

angvl έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:58 pm
Καλησπέρα!

Η παρακάρω εξίσωση με έχει ζορίσει αρκετά..Κάτι χάνω..
Χρείαζομαι μια βοήθεια όταν μπορείτε.

$\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$

Η λύση είναι $x=8-\sqrt{13}$ . Τη προσπάθησα αλλά δε κατάφερα να τη φέρω σε κάποια βολική μορφή. Αν και πιστεύω ότι είμαι σε καλό δρόμο:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{x^2-9} = \frac{2(x+3)}{\left (x-3 \right )^2}-x &\Leftrightarrow \sqrt{x^2-9} = \frac{2(x+3)-x\left ( x-3 \right )^2}{\left ( x-3 \right )^2} \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x^2-9} = - \frac{x^3-6x^2+7x-6}{\left ( x-3 \right )^2} \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x^2-9} = \frac{2}{x-3} -x + \frac{12}{\left ( x-3 \right )^2} \end{aligned}}$

angvl · #3

Ευχαριστώ Τόλη!

Μέχρι εκεί σε μια απόπειρα που είχα κάνει την έφτασα και γώ μέτα ζορίζει.

#4

angvl έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:58 pm
Καλησπέρα!

Η παρακάρω εξίσωση με έχει ζορίσει αρκετά..Κάτι χάνω..
Χρείαζομαι μια βοήθεια όταν μπορείτε.

$\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$

Δοκίμασα να την λύσω επιθετικά δλδ (διαίρεση στο 2 μελος ,παραγαντοποίηση και υψώνω τετράγωνο) αλλά πολλές πράξεις και το άφησα. Μετά δοκίμασα να θέσω αλλά πάλι δεν βγαίνει εύκολα.Γενικά έκανα διάφορα μαγικά αλλά δεν την κατάφερα..κάτι δεν βλέπω..

"Βάναυση" θα την έλεγα. Με ύψωση στο τετράγωνο είναι καθαρό ότι οι έκτες δυνάμεις του χ απλοποιούνται, που δίνει ... ελπίδα!

Πράξεις και ... 5x^4-96x^3+526x^2-105x+765=0

Αναζητάμε την τύχη μας με παραγοντοποίηση του πρώτου μέλους της μορφής (x^2+ax+b)(5x^2+cx+d)

με $bd=765=3^2 \cdot 17 \cdot 5$

Πετυχαίνουμε (x^2-16x+51)(5x^2-16x+15) =0

και λύνουμε.

Υπάρχει, στην πορεία, και ο περιορισμός -x^3+6x^2-7x+6>=0

Για την απάντηση $x=8-\sqrt{13}$ του Τόλη, παραπάνω, συμφωνώ χωρίς να "ψάξω" τον περιορισμό!

#5

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 4:42 pm

Υπάρχει, στην πορεία, και ο περιορισμός

Για την απάντηση $x=8-\sqrt{13}$ του Τόλη, παραπάνω, συμφωνώ χωρίς να "ψάξω" τον περιορισμό!

Μία απλή καθημερινή εξίσωση

Ο περιορισμός δίνει $\displaystyle x \le 2 + \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{108 - 3\sqrt {921} }} + \sqrt[3]{{108 + 3\sqrt {921} }}} \right) \simeq 4,80259$

που επαληθεύεται από την $\displaystyle x = 8 - \sqrt {13} \simeq 4,3944$

angvl · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 5:07 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 4:42 pm

Υπάρχει, στην πορεία, και ο περιορισμός

Για την απάντηση $x=8-\sqrt{13}$ του Τόλη, παραπάνω, συμφωνώ χωρίς να "ψάξω" τον περιορισμό!
Μία απλή καθημερινή εξίσωση

Ο περιορισμός δίνει $\displaystyle x \le 2 + \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{108 - 3\sqrt {921} }} + \sqrt[3]{{108 + 3\sqrt {921} }}} \right) \simeq 4,80259$

που επαληθεύεται από την $\displaystyle x = 8 - \sqrt {13} \simeq 4,3944$

Με μια πρώτη ματιά απλή φαινόταν....

Στην δεύτερη ματιά ομως το μετάνιωσα...

Ευχαριστώ πολύ όλους!!

Tolaso J Kos · #7

angvl έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:58 pm
$\displaystyle \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x$

Με λίγη καθοδήγηση:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)^2}-x &\Rightarrow \sqrt{x^2-9}+x = \frac{2(x+3)}{(x-3)^2} \\ &\Rightarrow \left ( x-3 \right )^2\left ( \sqrt{x^2-9}+x \right ) = 2\left ( x+3 \right ) \\ &\Rightarrow \left ( x-3 \right )^2 \left ( \sqrt{x^2-9}+x \right )\left ( \sqrt{x^2-9}-x \right ) = 2\left ( x+3 \right ) \left ( \sqrt{x^2-9}-x \right ) \\ &\Rightarrow -9 \left ( x-3 \right )^2 = 2 \left ( x+3 \right ) \left ( \sqrt{x^2-9}-x \right ) \\ &\Rightarrow -\frac{9(x-3)^2}{2(x+3)} +x = \sqrt{x^2-9} \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{-9(x-3)^2}{2(x+3)} + x = \frac{2(x+3)}{(x-3)^2} - x &\Leftrightarrow \frac{x\left ( x-16 \right )+51}{x^2-9}=0 \\ &\Leftrightarrow x\left ( x-16 \right ) +51 =0 \\ &\Leftrightarrow x = 8 \pm \sqrt{13} \end{aligned}}$
Μένει η επαλήθευση των δύο ριζών! Θα μείνουμε τελικά με τη $8-\sqrt{13}$ .